Integralsatz von Gauß < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] \vec{v}: \IR³ \to \IR³ [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld und K die Oberfläche einer Kugel. Ferner gelte
[mm] \integral_{K}^{ }\integral_{ }^{ }{ \vec{v} \vec{dO}} [/mm] = 0. Dann ist div [mm] \vec{v} [/mm] = 0
Warum ist diese Aussage falsch beziehungsweise nicht zwangsweise richtig? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Nach dem Satz von Gauß ist doch
[mm] \integral_{K}^{ }\integral_{ }^{ } {\vec{v} \vec{dO}} [/mm] = [mm] \integral_{VK}^{ }\integral_{ }^{ }\integral_{ }^{ }{ div \vec{v} dxdydz} [/mm] = 0
Da das Volumenelement dxdydz nicht null sein kann (sonst würde doch die Kugel nicht existieren) muss doch der Integrand 0 sein oder nicht?
Schöne Grüße,
Mabelleaf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 So 23.07.2006 | | Autor: | legris |
Hallo,
Also, ich kann mir schon vorstellen, dass div [mm] \vec{v} [/mm] nicht zwingend null sein muss, denn schliesslich ist z.B. [mm] \integral_{0}^{2 \pi}{sin(x) dx} [/mm] auch null!
Wie man das jetzt allerdings noch beweisen kann, nähme mich auch noch wunder...
Gruss, legris
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Ich denke, der Knackpunkt liegt hier darin, daß eine Kugel definiert ist.
Sofern dein Integrationsvolumen BELIEBIG ist, gilt der Satz.
Die Divergenz in der oberen Hälfte der Kugel könnte 1 sein, die in der unteren könnte -1 sein. Du addierst nun alle Divergenzen, und bekommst insgesamt 0 raus.
Beispiel aus der Elektrostatik: Eine Ladung innerhalb einer Kugel erzeugt ein Feld, und den Fluß durch die Kugeloberfläche kannst du mittels Gauß berechnen.
Eine Ladung ist Divergenz.
Hast du zwei entgegengesetzt gleich große Ladungen in der Kugel, hebt sich die Ladung in der Kugel insgesamt auf, und auch der Fluß ist insgesamt 0, obwohl lokal doch Fluß und auch Ladung, also Divergenz besteht.
Mein dritter Absatz ist auch schon der Beweis.
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