Integralrechnung zur Flächenb. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Di 12.12.2006 | | Autor: | Ochi |
| Aufgabe | | Für k>0 ist die Funktion $ [mm] f_k [/mm] $ gegeben durch $ [mm] f_k(x)=k(-x^3+3x+4) [/mm] $ Bestimmen Sie k so, dass das Schaubild von $ [mm] f_k [/mm] $ mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Flächeninhalt 45 einschließt. |
hallo,
meine frau möchte diese aufgabe lösen. hierzu hat sie folgende ersten schritte getan:
$ [mm] k(-x^3+3x+4)=0 [/mm] $ das ergibt die nullstellen.
wie sieht nun der lösungsweg der nullstellen aus? evtl. mit polynomdivision?
wie sieht der lösungsweg der aufgabe aus?
danke und viele grüße, ochi.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Di 12.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Man braucht hier dein Hochpunkt und die Stammfunktion von [mm] f_{k}
[/mm]
Und dann die Tangente am Hochpunkt:
Fangen wir mit den Ableitungen und der Stammfunktion an.
[mm] f_{k}(x)=k(-x^3+3x+4)=-kx³+3kx+4k
[/mm]
f'_{k}(x)=-3kx²+3k
f''{k}(x)=-6kx
[mm] F_{k}(x)=-\bruch{kx^{4}}{4}+\bruch{3kx²}{2}+4kx
[/mm]
Zum Hochpunkt:
-3kx²+3k=0
[mm] \gdw x=\pm1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt: H (1/6k)
Tangente in H
Allgemein hat eine Tangente die Form t(x)=mx+n, hier, da sie im Hochpunkt verläuft, m=0 [mm] \Rightarrow [/mm] n=6k
Also t(x)=6k
Jetzt zum Integral:
Schnittpunkte Tangente-Funktion:
-kx³+3kx+4k=6k
[mm] \gdw-kx³+3kx-2k=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] k(-x³+3x-2)
Nach Polynomdivision und Zerlegen in Linearfaktoren:
=k(x-1)²(x+2) [mm] \Rightarrow [/mm] Schnittstellen: -2, 1
Das heisst, gesucht ist das k für das gilt:
[mm] \integral_{-2}^{1}{6k-(-kx³+3kx+4k)dx}=45
[/mm]
[mm] \gdw\integral_{-2}^{1}{kx³-3kx+2k)dx}=45
[/mm]
Das auszurechnen sollte jetzt kein Problem mehr sein.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Di 12.12.2006 | | Autor: | Ochi |
vielen dank, christiane hat es gecheckt und ist sehr dankbar! 
gruß, ochi.
|
|
|
|
