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Wir betrachten die Funktion
f : [mm] [0,1]^2 \to \IR, f(x,y)=\begin{cases} x, & \mbox{für } y \mbox{ in Q} \\ 1-x, & \mbox{für } y \mbox{ in [0,1] ohne Q} \end{cases}
[/mm]
(a) Bestimmen Sie das Integral
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx dy}
[/mm]
(b) Sei x [mm] \in [/mm] [0; 1]. Ist die Funktion y [mm] \to [/mm] f(x; y) integrierbar auf [0; 1]? Begründen Sie Ihre Antwort.
(c) Darf der Satz von Fubini bei der Berechnung des Integrals aus (a) angewandt werden?
Begründen Sie Ihre Antwort. </task>
Also für die a müsste ich erstmal wissen wie ich die Funktion in die Form y=ax bekomme, also ohne Fallunterscheidung bekomme. Bei der b habe ich leider gar keinen Plan und bei der c) muss ich zeigen dass f stetig ist und die Intervalle kompakt sind oder dass sie es eben nicht sind, weil das die Vorr. für den Satz sind, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:22 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wir betrachten die Funktion
> f : [mm][0,1]^2 \to \IR, f(x,y)=\begin{cases} x, & \mbox{für } y \mbox{ in Q} \\ 1-x, & \mbox{für } y \mbox{ in [0,1] ohne Q} \end{cases}[/mm]
>
>
> (a) Bestimmen Sie das Integral
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx dy}[/mm]
>
> (b) Sei x [mm]\in[/mm] [0; 1]. Ist die Funktion y [mm]\to[/mm] f(x; y)
> integrierbar auf [0; 1]? Begründen Sie Ihre Antwort.
> (c) Darf der Satz von Fubini bei der Berechnung des
> Integrals aus (a) angewandt werden?
> Begründen Sie Ihre Antwort.
> Also für die a müsste ich erstmal wissen wie ich die
> Funktion in die Form y=ax bekomme, also ohne
> Fallunterscheidung bekomme.
Das wird Dir nicht gelingen !
gehen wir mal a) an. Um b) und c) kümmern wir uns später.
Du sollst
$ [mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx dy} [/mm] $ berechnen. Also berechnen wir zunächst das innere Integral
[mm] \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx}
[/mm]
bei festem y [mm] \in [/mm] [0,1]
Fall 1: y [mm] \in \IQ. [/mm] Dann ist [mm] \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx}=?
[/mm]
Fall 2: y [mm] \notin \IQ. [/mm] Dann ist [mm] \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx}=?
[/mm]
FRED
Bei der b habe ich leider gar
> keinen Plan und bei der c) muss ich zeigen dass f stetig
> ist und die Intervalle kompakt sind oder dass sie es eben
> nicht sind, weil das die Vorr. für den Satz sind, oder?
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Fall 1 [mm] [1/2*x^2]_0^1 [/mm] = 0,5
Fall 2 [mm] [x-1/2*x^2]_0^1 [/mm] = 0,5
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Fall 1 [mm][1/2*x^2]_0^1[/mm] = 0,5
> Fall 2 [mm][x-1/2*x^2]_0^1[/mm] = 0,5
ja
FRED
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Und was bringt mir das jetzt, dass ich diesen inneren Teil in beiden Fällen berechnet habe? Wie kann ich jetzt weiter vorgehen, soll ich jetzt den äußeren Teil mit der konstanten Zahl 0,5 weiter berechnen in beiden Fällen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Und was bringt mir das jetzt, dass ich diesen inneren Teil
> in beiden Fällen berechnet habe? Wie kann ich jetzt weiter
> vorgehen, soll ich jetzt den äußeren Teil mit der
> konstanten Zahl 0,5 weiter berechnen in beiden Fällen?
Oh mann ! Es folgt doch
$ \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx dy} =\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}dy}={\bruch{1}{2}$
FRED
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>
>
> Oh mann ! Es folgt doch
>
>
>
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}{f(x,y) dx dy} =\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{2}dy}={\bruch{1}{2}[/mm]
>
> FRED
Tut mir leid .... ich war mir einfach nicht sicher, deswegen habe ich mir gedacht, frage ich lieber nochmal. Und wie gehen wir jetzt bei b) und c) vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
Wir sezten [mm] A:=\IQ \cap [/mm] [0,1] und B:= [0,1] [mm] \setminus \IQ
[/mm]
Weiter sei x [mm] \in [/mm] [0,1] fest und
g(y):=f(x,y) für y [mm] \in [/mm] [0,1]
Dann ist [mm] g=x*1_A+(1-x)*1_B
[/mm]
[mm] (1_C [/mm] ist die char. Funktion der Menge C)
g ist also eine Treppenfunktion. Ist g messbar ?
Wenn ja, so ist g integrierbar
FRED
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Hmm, also ich habe jetzt ein wenig recherchiert und mir Gedanken darüber gemacht, aber so richtig verstehe ich jetzt nicht wie ich hier weitermachen muss. Was ich rausbekommen habe ist, dass eine Funktion messbar ist wenn das Urbild jeder Teilmenge der Zielmenge wieder in der Ursprungsmenge liegt.
Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt also im nächsten Schritt die umkehrfunktion bilden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Di 02.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hmm, also ich habe jetzt ein wenig recherchiert und mir
> Gedanken darüber gemacht, aber so richtig verstehe ich
> jetzt nicht wie ich hier weitermachen muss. Was ich
> rausbekommen habe ist, dass eine Funktion messbar ist wenn
> das Urbild jeder Teilmenge der Zielmenge wieder in der
> Ursprungsmenge liegt.
Das ist doch Quatsch !
> Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt also
> im nächsten Schritt die umkehrfunktion bilden?
Blödsinn !
Eigne Dir erstmal die Grundlagen an.
FRED
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Ok, dann mache ich dass. Die Grundlagen zu was genau? Maßtheorie, Treppenfunktionen? Vielleicht kannst du mir ja sogar ein Buch empfehlen, dann kann ich gerade heute Nachmittag in der Unibibliothek nachschauen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:14 Di 02.07.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Hallo,
Ja also eine Einführung in die Maß und Integrationstheorie wäre sicher gut.
Ein sehr gängiges Buch: J.Elstrodt, Maß und Integrationstheorie- Springer Verlag.
Sonst: Du kannst einige Skripten von diversen Unis einfach online durchblättern - es gibt wirklich viel Lektüre dazu
Gruß
Thomas
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> Hmm, also ich habe jetzt ein wenig recherchiert und mir
> Gedanken darüber gemacht, aber so richtig verstehe ich
> jetzt nicht wie ich hier weitermachen muss. Was ich
> rausbekommen habe ist, dass eine Funktion messbar ist wenn
> das Urbild jeder Teilmenge der Zielmenge wieder in der
> Ursprungsmenge liegt.
> Wenn ich das richtig verstanden habe, muss ich jetzt also
> im nächsten Schritt die umkehrfunktion bilden?
Nein das ist absolut der falsche Ansatz
Gruß
Thomas
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