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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Di 04.09.2012 | | Autor: | Tilio |
| Aufgabe | [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}f(x)*\Delta [/mm] x
[mm] =\integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] |
Der Sinn der Integralrechnung ist doch das Berechnen eines Flächeninhaltes einer Funktion. Lösungsversuche sind das Einfügen von berechenbaren Formen (z.B. Rechtecke) in den Graphen. Nun bräuchte man da ja unendlich viele immer kleiner werdende Rechtecke. Wieso liefert mir dann die Aufleitung meiner gegebenen Funktion und das Einsetzen meiner Grenzwerte (a,b) einen genauen Wert? Ist dieser Wert nicht auch nur ein annähernd genauer Flächeninhalt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Tilio, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Super, dass Du direkt den Formeleditor benutzt!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}f(x)*\Delta[/mm] x
> [mm]=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
Der Grenzwert ist ungenau formuliert, da kommen a und b ja gar nicht vor - aber ich verstehe, was Du meinst und mit Deiner Frage hat es ja auch erst einmal nichts zu tun.
> Der Sinn der Integralrechnung
> ist doch das Berechnen eines Flächeninhaltes einer
> Funktion.
Das würde ich so nicht sagen, aber dazu kann man die Integralrechnung immerhin auch verwenden. Dabei hat eine Funktion keinen Flächeninhalt, aber ihr Graph schließt z.B. mit der x-Achse eine Fläche ein.
> Lösungsversuche sind das Einfügen von
> berechenbaren Formen (z.B. Rechtecke) in den Graphen. Nun
> bräuchte man da ja unendlich viele immer kleiner werdende
> Rechtecke.
Ja, genau. Du schreibst es selbst: unendlich viele.
> Wieso liefert mir dann die Aufleitung meiner
> gegebenen Funktion und das Einsetzen meiner Grenzwerte
> (a,b) einen genauen Wert?
So ist das bei Grenzwerten. Im "Übergang zum Unendlichen" sind viele Dinge genau zu bestimmen.
> Ist dieser Wert nicht auch nur
> ein annähernd genauer Flächeninhalt?
Solange Dein n endlich ist, ist der Wert für den Flächeninhalt auch nur annähernd genau. Das war bei der Ableitung doch genauso. Erinnerst Du Dich noch an den Differenzenquotienten? Da brauchte man auch einen Grenzübergang, um die genaue Ableitung zu bestimmen.
Ach, und noch eins.
Gewöhn Dir bitte das Wort "Aufleitung", "aufleiten" etc. gar nicht erst an. Mathematiker reagieren darauf mit Ekel und Abscheu. Es gibt dieses Wort nicht, auch wenn manche Mathematiklehrer glauben, es sei so für ihre Schüler verständlicher.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ach, und noch eins.
> Gewöhn Dir bitte das Wort "Aufleitung", "aufleiten" etc.
> gar nicht erst an. Mathematiker reagieren darauf mit Ekel
> und Abscheu. Es gibt dieses Wort nicht, auch wenn manche
> Mathematiklehrer glauben, es sei so für ihre Schüler
> verständlicher.
Danke! (Es wird übrigens sowieso nicht ohne Grund eigentlich als
"falschen Sprachgebrauch" bezeichnet. Lehrer/innen, die ihre Schüler/innen
mit sowas schulen, sollten selbst nochmal geschult werden!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Di 04.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
ich schreibe es immer wieder gerne.
Der Duden schreibt zum Wort "aufleiten": "Begriff aus der Schulmathematik"
Der Duden schreibt zum Wort integrieren: "Begriff aus der Mathematik"
Alle, die sich mit der Integralrechnung beschäftigen, sind doch schon groß. Da darf/sollte man auch den mathematischen und nicht schulmathematischen Begriff benutzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich schreibe es immer wieder gerne.
ich hasse es!
> Der Duden schreibt zum Wort "aufleiten": "Begriff aus der
> Schulmathematik"
> Der Duden schreibt zum Wort integrieren: "Begriff aus der
> Mathematik"
Bei Wiki stand mal, dass das Wort ein Unwort sei, weil es i.a.
falsches suggerieren würde. (So gibt es etwa Riemann-integrierbare
Funktionen, die keine Stammfunktion haben!)
(Wiki "will wohl" (zu meinem Unverständnis) mit der Zeit gehen und
ist da nun deutlich weniger bishin zu gar nicht mehr kritisch geworden!)
> Alle, die sich mit der Integralrechnung beschäftigen, sind
> doch schon groß. Da darf/sollte man auch den
> mathematischen und nicht schulmathematischen Begriff
> benutzen.
Der Begriff gehört einfach wieder aus der Schule verbannt. Oder man
sollte genauer erklären, wann man ihn nur benutzen darf/sollte. Ich
meine, anstatt Auto sage ich nun auch nicht "Ortswechselhilfsmittel"...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Di 04.09.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hey Marcel,
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > ich schreibe es immer wieder gerne.
>
> ich hasse es!
Mh, ich meinte ich schreibe diese Duden-Geschichte immer wieder gerne. Das Wort "**fleiten" benutze ich eigentlich nie.
>
> Bei Wiki stand mal, dass das Wort ein Unwort sei, weil es
> i.a.
> falsches suggerieren würde. (So gibt es etwa
> Riemann-integrierbare
> Funktionen, die keine Stammfunktion haben!)
Nicht nur das.
Es scheint allgemein etwas total verschiedenes zu sein. Der Hauptsatz der Differential & Integralrechnung ist eigentlich sehr erstaunlich.
Ableiten hat anschaulich etwas mit einer Tangente zu tun, und integrieren mit einer Fläche. Dass diese anschaulichen Objekte zusammenhängen ist schon ziemlich irre! Daher ist es schon gut, dass da zwei so unterschiedliche Begriffe benutzt werden.
> (Wiki "will wohl" (zu meinem Unverständnis) mit der Zeit
> gehen und
> ist da nun deutlich weniger bishin zu gar nicht mehr
> kritisch geworden!)
>
> > Alle, die sich mit der Integralrechnung beschäftigen, sind
> > doch schon groß. Da darf/sollte man auch den
> > mathematischen und nicht schulmathematischen Begriff
> > benutzen.
>
> Der Begriff gehört einfach wieder aus der Schule verbannt.
> Oder man
> sollte genauer erklären, wann man ihn nur benutzen
> darf/sollte. Ich
> meine, anstatt Auto sage ich nun auch nicht
> "Ortswechselhilfsmittel"...
>
> Gruß,
> Marcel
Aber Marcel, sollte man nicht anstatt ableiten auch differenzieren sagen? Es wird so kommen, da wird man vermutlich nicht mehr integrieren sagen... Ein Schritt den ich nicht unterstütze.
Es lebe das "Integral"!
P.S. Und damit verabschiede ich mich aus diesem kleinen Off-Topic. Darauf zielte die Fragestellung ja nicht ab.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:41 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Marcel,
>
> > Hallo,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich schreibe es immer wieder gerne.
> >
> > ich hasse es!
> Mh, ich meinte ich schreibe diese Duden-Geschichte immer
> wieder gerne. Das Wort "**fleiten" benutze ich eigentlich
> nie.
achso: Da habe ich Dich missverstanden!
> > Bei Wiki stand mal, dass das Wort ein Unwort sei, weil es
> > i.a.
> > falsches suggerieren würde. (So gibt es etwa
> > Riemann-integrierbare
> > Funktionen, die keine Stammfunktion haben!)
> Nicht nur das.
> Es scheint allgemein etwas total verschiedenes zu sein.
> Der Hauptsatz der Differential & Integralrechnung ist
> eigentlich sehr erstaunlich.
> Ableiten hat anschaulich etwas mit einer Tangente zu tun,
> und integrieren mit einer Fläche. Dass diese anschaulichen
> Objekte zusammenhängen ist schon ziemlich irre! Daher ist
> es schon gut, dass da zwei so unterschiedliche Begriffe
> benutzt werden.
Das man "Ableiten" und "Aufleiten" nun beides "anhand der Graphen
von Funktionen" benutzt, ist mir eigentlich neu. Ich kenne es nur so,
dass manche Aufleiten="Stammfunktion finden" benutzen!
Mir ist übrigens dieser 'geometrische Zusammenhang' mehr als klar,
keine Sorge 
> > (Wiki "will wohl" (zu meinem Unverständnis) mit der
> Zeit
> > gehen und
> > ist da nun deutlich weniger bishin zu gar nicht mehr
> > kritisch geworden!)
> >
> > > Alle, die sich mit der Integralrechnung beschäftigen, sind
> > > doch schon groß. Da darf/sollte man auch den
> > > mathematischen und nicht schulmathematischen Begriff
> > > benutzen.
> >
> > Der Begriff gehört einfach wieder aus der Schule verbannt.
> > Oder man
> > sollte genauer erklären, wann man ihn nur benutzen
> > darf/sollte. Ich
> > meine, anstatt Auto sage ich nun auch nicht
> > "Ortswechselhilfsmittel"...
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Aber Marcel, sollte man nicht anstatt ableiten auch
> differenzieren sagen?
Sage ich eigentlich auch lieber. Aber das Wort "ableiten" bzw. "Ableitung"
gibt's so nun schon seit jeher in der Mathematik. Und weil es im Sinne
von differenzieren benutzt wird, ist ja gerade das Wort "aufleiten" ein
unpassendes Gegenstück!
> Es wird so kommen, da wird man
> vermutlich nicht mehr integrieren sagen... Ein Schritt den
> ich nicht unterstütze.
> Es lebe das "Integral"!
Welches? Ich finde, es lebe das
- Riemann-Integral
- Lebesgue-Integral
- Riemann-Stieltjes-Integral
.
.
.
Und es lebe
- die Fréchet-Ableitung
- die Gâteaux-Ableitung
.
.
.
(Oder das "Differential")
Das sind jedenfalls die, mit denen ich schon ab und an zu tun hatte.
> P.S. Und damit verabschiede ich mich aus diesem kleinen
> Off-Topic. Darauf zielte die Fragestellung ja nicht ab.
Kein Ding . so schlimm finde ich Off-Topic-Mitteilungen nicht. Sind ja
keine Antworten!
P.S.
Die Vervollständigung der Liste "Es lebe ... -Integral ... und es lebe ...-Ableitung"
überlasse ich mal Fred, wenn er mag ^^
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 Di 04.09.2012 | | Autor: | reverend |
[mm]Hu_{hu}[/mm],
> P.S.
> Die Vervollständigung der Liste "Es lebe ... -Integral
> ... und es lebe ...-Ableitung"
> überlasse ich mal Fred, wenn er mag ^^
Seit 10 Tagen verschollen. Vielleicht gibt es so ein ekliges Problem wie "Urlaub". Wer weiß. Hoffen wir das Beste.
Grüße
rever.end
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:06 Mi 05.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]Hu_{hu}[/mm],
>
> > P.S.
> > Die Vervollständigung der Liste "Es lebe ... -Integral
> > ... und es lebe ...-Ableitung"
> > überlasse ich mal Fred, wenn er mag ^^
>
> Seit 10 Tagen verschollen. Vielleicht gibt es so ein
> ekliges Problem wie "Urlaub". Wer weiß. Hoffen wir das
> Beste.
er arbeitet in unmittelbarem Umkreis... wenn ihr Euch zuviel Sorgen macht,
geh' ich nachgucken.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:00 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tilio,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}f(x)*\Delta[/mm] x
> [mm]=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> Der Sinn der Integralrechnung
> ist doch das Berechnen eines Flächeninhaltes einer
> Funktion.
nicht notwendigerweise. Es gibt aber Zusammenhänge, und ich denke,
die Integralrechnung hat da sicher auch zumindest in einem kleinen Teil
ihren Ursprung.
> Lösungsversuche sind das Einfügen von
> berechenbaren Formen (z.B. Rechtecke) in den Graphen. Nun
> bräuchte man da ja unendlich viele immer kleiner werdende
> Rechtecke. Wieso liefert mir dann die Aufleitung meiner
> gegebenen Funktion und das Einsetzen meiner Grenzwerte
> (a,b) einen genauen Wert? Ist dieser Wert nicht auch nur
> ein annähernd genauer Flächeninhalt?
Nein - es geht ja um einen Grenzprozess. Vielmehr wäre die Frage,
ob "das immer ein sinnvoller ist" (Frage nach der Existenz des GWs und
im Falle der Existenz interessiert man sich natürlich auch für den Wert).
P.S.
Habt ihr schonmal das Cavaliersche Prinzip ("für schulgeometrische
Objekte") behandelt? Da macht man im Prinzip das gleiche...
Die grobe Aussage ist die: Haben zwei 'Körper' stets auf gleicher Höhe
gleich große Schnittflächen, so haben sie auch das gleiche Volumen!
Es gibt aber auch solche Ideen, wo man den Flächeninhalt eines Kreises
"durch einen Grenzprozess" gewonnen hat... Auch da gab's
"umschließende" und "eingeschlossene" Flächen, etwa mit Summen von
Rechtecksflächen gebildet...
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich will's nur mal anmerken: Das, was man in der Schule macht, ist ja
eigentlich auch nur eine grobe "Skizze" bzw. ein grober Ausschnitt dessen,
wie man (etwa Riemann-)Integrale einführen bzw. ich würde sogar
eigentlich behaupten "motivieren" kann. Es mag' auch für gewisse
geometrische Betrachtungen vollkommen ausreichend sein, auch für die
(gerne am PC arbeitenden) Numeriker. Aber eigentlich gibt's da Begriffe, die
Du hier gar nicht erwähnt hast: "Für alle Riemannfolgen...",
"Zerlegungsnullfolgen", "Intervalllänge", "Feinheitsmaß". Man kann auch
mit Ober- und Untersummen arbeiten, aber prinzipiell bedarfs schon einiger
grundlegender mathematischer Begriffe (Supremum etwa), um das klar
zu definieren und auch Schlüsse damit ziehen zu können.
Tipp: Falls Du irgendwie drankommst, schau einfach in Heuser, Analysis I
(unter Riemannfolgen oder Riemann-integrierbar (S.449ff.)). Oder google
mal nach "Riemann-Integral". Notfalls kannst Du mal in ein Analysis-
Skript reingucken.
P.S.
Für die Schule reicht übrigens meist obige "Summe mit gleichbreiten
Abständen", auch zur Definition. Bei Integration wird man dort eh meist
nur stetige Funktionen untersuchen. Wer die Definition bzw. Ergebnisse
aus der Riemannschen Integrationstheorie verstanden hat, wird sofort
sagen: "Ja, da geht das. Ist aber sehr speziell..." (alleine schon "die
äquidistanten 'Stützstellen'...")
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 04.09.2012 | | Autor: | Tilio |
Vielen dank für die Antworten...
Mir ist klar geworden, dass ich nur ein kleines Stück des großen "Kuchens" bisher betrachtet habe. Somit ist der Wert des Flächenihaltes F in dem Intervall [a;b] auch nur ein annähernd genauer wert.
In dem allseits verachteten und doch wiederum geliebten Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung)
wird erwähnt: "Ein Ziel der Integralrechnung ist die Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter Bereiche der Ebene" ....
Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe wird die Integralrechnung jedoch nicht nur dafür benutzt.
Wenn der Wert des Flächeninhaltes also nur eine Annäherung ist, ist also die Integralrechnung nur ein Versuch der Deutung des Flächeninhaltes? :-O
PS: Vielen Dank für die Berichtigung meines Ausdruckfehlers :D. Der Begriff "Aufleiten" ist in der Schule wahrlich weit verbreitet
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Di 04.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen dank für die Antworten...
> Mir ist klar geworden, dass ich nur ein kleines Stück des
> großen "Kuchens" bisher betrachtet habe. Somit ist der
> Wert des Flächenihaltes F in dem Intervall [a;b] auch nur
> ein annähernd genauer wert.
nö. Wie kommst Du nun darauf? Die "Approximation mit endlich vielen
Rechtecken" ist halt nur eine Approximation. (Und wie gut diese ist,
liegt halt an der Wahl der Fehlerschranke!)
> In dem allseits verachteten und doch wiederum geliebten
> Wikipedia (http://de.wikipedia.org/wiki/Integralrechnung)
> wird erwähnt: "Ein Ziel der Integralrechnung ist die
> Berechnung von Flächeninhalten krummlinig begrenzter
> Bereiche der Ebene" ....
> Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe wird die
> Integralrechnung jedoch nicht nur dafür benutzt.
Nein - nicht nur!
> Wenn der Wert des Flächeninhaltes also nur eine
> Annäherung ist, ist also die Integralrechnung nur ein
> Versuch der Deutung des Flächeninhaltes? :-O
Nein. Man kann vermittels der Integralrechnung eher eine
mathematische Definition, die einer geometrischen Deutung
entspricht, des Begriffes "Flächeninhalt" geben. Ich denke, und
ich hoffe, mich richtig zu erinnern, dass etwa das auch im Heuser
steht. Grenzprozesse sind aber keineswegs ungenau - nur, wenn man
sich "dem Grenzwert" mit einer Folge nähert, die man mit einer gewissen
"Fehlerschranke" abbrechen läßt, dann ist ein solch' gefundener Wert
halt (meist) nur eine Approximation des Grenzwertes!
> PS: Vielen Dank für die Berichtigung meines
> Ausdruckfehlers :D. Der Begriff "Aufleiten" ist in der
> Schule wahrlich weit verbreitet
Leider!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:44 Di 04.09.2012 | | Autor: | Zetti |
sry dass ich störe, wollte auch nich auf die frage antworten, wollt nur fragen wie ich etwas hier rein "posten" kann, wenn ich auch hilfe brauche
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Di 04.09.2012 | | Autor: | Valerie20 |
> sry dass ich störe, wollte auch nich auf die frage
> antworten, wollt nur fragen wie ich etwas hier rein
> "posten" kann, wenn ich auch hilfe brauche
Hi!
Klicke einfach Links wo alle Fächer stehen auf das Fach welches zu deiner Frage passt und klicke dann auf [mm] \red{''Neue Diskussion.''}
[/mm]
Siehe hier ein Screenshot für den Fall dass du auf "Mathe" geklickt hast.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Di 04.09.2012 | | Autor: | chrisno |
> sry dass ich störe, wollte auch nich auf die frage
> antworten, wollt nur fragen wie ich etwas hier rein
> "posten" kann, wenn ich auch hilfe brauche
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Während ich diese Diskusion lese, ist bei mir ist links oben unter Navigation in blau "Neue Frage stellen" zu lesen. Da klick drauf und dann such Dir ein Forum aus. Im Zweifelsfall nimm einfach Schulmathematik. Dann gehts schon los mit der Frage.
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