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Integralrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:00 Di 09.08.2005
Autor: Marcusgoe

Hallo
Die Frage lautete so: Skizzieren sie die Kurve  [mm] r(\phi)=\wurzel{2*sin(2\phi)} [/mm] im Intervall 0 [mm] \le\phi<2\pi [/mm] und berechnen Sie die umrandete Fläche (r>0 ist Def. Bereich )
Eine Wertetabelle für die Skizze kriege ich hin.
Als erstes wollte ich die Polarkoordinaten in Kartesische Koordinaten umwandeln.

[mm] x=\wurzel{2*sin(2\phi)}*cos\phi [/mm]
[mm] y=\wurzel{2*sin(2\phi)}*sin\phi [/mm]
Wie geht es denn jetzt weiter, oder war das schon verkehrt ?
Bis bald
Marcus
        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:39 Di 09.08.2005
Autor: Paulus

Hallo Marcus

> Hallo
>  Die Frage lautete so: Skizzieren sie die Kurve  
> [mm]r(\phi)=\wurzel{2*sin(2\phi)}[/mm] im Intervall 0 [mm]\le\phi<2\pi[/mm]
> und berechnen Sie die umrandete Fläche (r>0 ist Def.
> Bereich )
>  Eine Wertetabelle für die Skizze kriege ich hin.
>  Als erstes wollte ich die Polarkoordinaten in Kartesische
> Koordinaten umwandeln.
>  
> [mm]x=\wurzel{2*sin(2\phi)}*cos\phi[/mm]
>  [mm]y=\wurzel{2*sin(2\phi)}*sin\phi[/mm]
>  Wie geht es denn jetzt weiter, oder war das schon verkehrt
> ?
>  Bis bald
>  Marcus

Das würde ich nicht machen, denn die Integration wird sicher im rechtwinkligen Koordinatensystem komplizierter.

jetzt weiss ich nicht, ob unter der Wurzel nicht der Betrag des Sinuns geneommen werden sollte?

In Polarkoordinaten musst du ja einfach die Funktion r integrieren (Stichwort: Funktionaldeterminante bei Koordinatentransformation).

Aus Symmetriegründen (vierblättriges Kleeblatt) kannst du einfach 4 mal von 0 bis [mm] $\bruch{\pi}{2}$ [/mm] integrieren (falls keine Betragsstriche vorhanden sind halt einfach 2 mal):

Dann hast du ganz einfach:

[mm] $4*\int_0^{\bruch{\pi}{2}}\int_0^{\wurzel{2\sin(2\varphi)}}r \, [/mm] dr [mm] \, d\varphi=$ [/mm]

[mm] $4*\bruch{1}{2}\int_0^{\bruch{\pi}{2}}\left[r^2\right]_0^{\wurzel{2\sin(2\varphi)}} \, d\varphi=$ [/mm]

[mm] $2*\int_0^{\bruch{\pi}{2}}2\sin(2\varphi) \, d\varphi=$ [/mm]

[mm] $2*\int_0^{\bruch{\pi}{2}}\sin(2\varphi) \, d\varphi$ [/mm]

etc.

Ich hoffe, den Rest kannst du noch alleine zu Ende führen.

[kleeblatt] ;-)

Viele Grüsse

Paul

Bezug
                
Bezug
Integralrechnung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 Di 09.08.2005
Autor: Marcusgoe

Hallo Paul
Kannst du mir noch bitte erklären, wie du auf die einzelen Schritte kommst ?
Mit unwissenden Grüßen
Marcus
Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 Di 09.08.2005
Autor: Paulus

Hallo marcus

> Hallo Paul
>  Kannst du mir noch bitte erklären, wie du auf die einzelen
> Schritte kommst ?
>  Mit unwissenden Grüßen
>  Marcus

Ich fürchte nein, denn ich kann hier kein Lehrbuch verfassen. Du solltest dein Skript konsultieren oder ein Analysisbuch und dort das Stichwort "Transformationsformel" suchen. Vielleicht auch "Integration in Polarkoordinaten" oder ähnlich.

Viele Grüsse

Paul
Bezug
                        
Bezug
Integralrechnung: Erklärung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Di 09.08.2005
Autor: Toellner

Hallo,

ich würd's etwas einfacher machen als Paulus:
Wenn Du den Winkel [mm] \phi [/mm] um [mm] d\phi [/mm] veränderst, überstreicht der Radius von [mm] r(\phi) [/mm] bis [mm] r(\phi+d\phi) [/mm] in etwa ein "Tortenstück" mit Winkel [mm] d\phi. [/mm] Du tust jetzt einfach so, als wäre es ein Kreissegment (ohne Beweis: die Fehler verschwinden, wenn [mm] d\phi [/mm] gegen 0 geht) und berechnest seine Fläche dA durch
dA = 1/2 [mm] r²d\phi [/mm]  
Das ergibt sich aus dem gleichen Flächen- und Winkelverhältnis:
[mm] dA/(\pi [/mm] r²) = [mm] d\phi/(2\pi) [/mm]
Dann integrierts Du über dA von 0 bis [mm] \pi/2 [/mm] (aus den Gründen, die Paulus schon genannt hat:

4 [mm] \integral_{0}^{\pi/2} [/mm] dA = 4 [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {1/2r(\phi)² d\phi} [/mm] = 2 [mm] \integral_{0}^{\pi/2} {sin(2\phi) d\phi} [/mm]

P.S.: Dann siehst Du auch, dass bei Paul ein kleiner Fehler sein muss: Er unterdrückt zum Schluss den Faktor 2, um auf das richtige Ergebnis zu kommen.

Gruß Richard


P.P.S.: Jetzt hab ich den gleichen Fehler gemacht: es muss am Ende eine 4 vorm Integral stehen... R
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