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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 01.10.2011 | | Autor: | aNd12121 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{4}}{\bruch{1-cos^{2}(x)}{2*cos^{2}(x)} dx}
[/mm]
Berechnen Sie das bestimmte Integral. |
Hallo,
Es wäre nett wenn ihr euch mal meinen Lösungsansatz anschaut. Leider stimmt mein Ergebnis jedoch nicht mit der Lösung überein.
zunächst hab ich den Bruch vereinfacht und aufgeteilt:
[mm] \bruch{1-cos^{2}(x)}{2*cos^{2}(x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{2*cos^{2}(x)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Das 1/2 hab ich vor das Integral gezogen und den ersten Teil dann zunächst integriert. Und schließlich [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Daraus folgt dann für mich.
F(x) = [mm] \bruch{1}{2}[tanx-\bruch{1}{2}x)
[/mm]
Wenn ich dann die Werte einsetze komme ich auf 0.3... und nicht auf die wie in den Lösung vorgegebenen 0.10730. Entdeckt vllt. jemand meinen Fehler?
mit freundlichen Grüßen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Sa 01.10.2011 | | Autor: | aNd12121 |
$ [mm] \bruch{1-cos^{2}(x)}{2\cdot{}cos^{2}(x)} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2\cdot{}cos^{2}(x)} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
Nach dem gleichzeichen muss natürlich unterm bruch die zwei weg. Aber das hab ich mir richtig aufgeschrieben, daher muss der fehler woanders liegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Sa 01.10.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt:
[mm] \int\frac{1-\cos^{2}(x)}{2\cdot\cos^{2}(x)}dx [/mm]
[mm] =\int\left(1-\cos^{2}(x)\right)\cdot\frac{1}{2\cdot\cos^{2}(x)}dx [/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot\int\left(1-\cos^{2}(x)\right)\cdot\frac{1}{\cos^{2}(x)}dx [/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot\int1\cdot\frac{1}{\cos^{2}(x)}-\frac{\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}dx [/mm]
[mm] =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{1}{\cos^{2}(x)}-1dx [/mm]
$ [mm] =\frac{1}{2}\cdot\left(\int\frac{1}{\cos^{2}(x)}dx-\int1dx\right) [/mm] $
$ [mm] =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{1}{\cos^{2}(x)}dx-\frac{1}{2}\cdot\int1dx [/mm] $
Jetzt kann man die Stammfunktionen bilden, also:
$ [mm] =\frac{1}{2}\cdot\int\frac{1}{\cos^{2}(x)}dx-\frac{1}{2}\cdot\int1dx [/mm] $
$ [mm] =\frac{1}{2}\cdot\tan(x)-\frac{1}{2}x [/mm] $
$ [mm] =\frac{1}{2}\cdot\left(\tan(x)-x\right) [/mm] $
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 01.10.2011 | | Autor: | eichi |
> Daraus folgt dann für mich.
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> F(x) = [mm]\bruch{1}{2}[tanx-\bruch{1}{2}x)[/mm]
>
>
> Wenn ich dann die Werte einsetze komme ich auf 0.3... und
> nicht auf die wie in den Lösung vorgegebenen 0.10730.
> Entdeckt vllt. jemand meinen Fehler?
Ja, hab ich entdeckt :) Frage somit beantwortet :P
Ohne Spaß: schau mal, nach dem 1/2 in deinem Integral. Du ziehst es erst nur aus dem ersten Summanden von $ [mm] \bruch{1}{2}\cdot{}\bruch{1}{2\cdot{}cos^{2}(x)} [/mm] $ raus, am Ende der Integration behandelst du das 1/2 aber so, als hätest du es aus beiden Summanden rausgezogen
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> mit freundlichen Grüßen
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>
Ebenfalls
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