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| Aufgabe | [mm] \integral\bruch{x^{2}-2+4x+4}{x^{2}-1}dx
[/mm]
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[mm] =\integral\bruch{a(x^{2}-1)+(a-2)+4(x+1)}{x^{2}-1}dx
[/mm]
Ist dies die richtige Vereinfachung?
weitere Rechnung folgt wenn dieser Schritt richtig sein sollte?
Vielen Dank im Vorraus
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Hallo DaniSan,
> [mm]\integral\bruch{x^{2}-2+4x+4}{x^{2}-1}dx[/mm]
>
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> [mm]=\integral\bruch{a(x^{2}-1)+(a-2)+4(x+1)}{x^{2}-1}dx[/mm]
> Ist dies die richtige Vereinfachung?
Das verstehe ich nicht, wenn du den Zähler zusammenfasst, ist das doch [mm] $x^2+4x-2$
[/mm]
Du hast also [mm] $\int{\frac{x^2+4x-2}{x^2-1} \dx}$
[/mm]
Nun mache erstmal eine PD oder forme den Integranden so um:
[mm] $\frac{x^2+4x-2}{x^2-1}=\frac{x^2-1+4x-1}{x^2-1}=1+\frac{4x-1}{x^2-1}=1+\frac{4x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2-1}=1+2\cdot{}\frac{2x}{x^2-1}-\frac{1}{x^2-1}$
[/mm]
Du kannst also dein Ausgangsintegral als Summe dreier Integrals schreiben, das erste ist klar, das zweite ein logaritmisches Integral, dessen Stammfunktion du kennst (oder dir herleitest, indem du den Nenner substituierst, also [mm] $u:=x^2-1$).
[/mm]
Für das letzte mache eine Partialbruchzerlegung ...
> weitere Rechnung folgt wenn dieser Schritt richtig sein
> sollte?
> Vielen Dank im Vorraus
LG
schachuzipus
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Hab mich vertan. Sorry
Hier das richtige Integral
[mm] \integral\bruch{ax^{2}-2+4x+4}{x^{2}-1}dx
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Hab mich vertan. Sorry
> Hier das richtige Integral
> [mm]\integral\bruch{ax^{2}-2+4x+4}{x^{2}-1}dx[/mm]
ok, steht da auch wirklich [mm] $ax^2\red{-2}+4x\red{+4}$
[/mm]
Dann fasse wie oben zusammen, es ändert sich bis auf etwas unterschiedliche Summanden nix am Schema ...
Polynomdivision bzw. Umformung wie oben und Zerlegung in drei Summanden, dann integrieren ...
LG
schachuzipus
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