Integralrechnung < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Mo 07.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die Reihen konvergieren
[mm] \summe_{n \ge 0}^{n} n*e^-^n^2
[/mm]
die hochzahl ist - n hoch 2
|
Wenn ich den Ausdruck integriere komme ich auf
[mm] -\bruch{1}{2}e^-^n^2 [/mm] (wieder mit der hochzahl - n hoch 2)
Die Definition des Integralkriteriums in meinem Buch: Sei f: [1, [mm] \infty) \mapsto \IR [/mm] eine nichtnegative und monoton fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral [mm] \integral_{1}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] genau dann konvergent, wenn die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] f(n) konvergiert.
Weiß leider nicht wie ich das Integralkriterium konkret anwenden soll - welche Schritte muss ich machen - bitte um Hilfe
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie mit Hilfe des Integralkriteriums, ob die
> Reihen konvergieren
>
> [mm]\summe_{n \ge 0}^{n} n*e^-^n^2[/mm]
>
> die hochzahl ist - n hoch 2
Du meinst [mm] $\summe_{n \ge 0} n*e^{-n^2}$ [/mm] oder
[mm] $\summe_{n=0}^{\red{\infty}} n*e^{-n^2}$
[/mm]
> Wenn ich den Ausdruck integriere komme ich auf
>
> [mm]-\bruch{1}{2}e^-^n^2[/mm] (wieder mit der hochzahl - n hoch 2)
>
> Die Definition des Integralkriteriums in meinem Buch: Sei
> f: [1, [mm]\infty) \mapsto \IR[/mm] eine nichtnegative und monoton
> fallende Funktion. Dann ist das uneigentliche Integral
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] genau dann konvergent, wenn
> die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] f(n) konvergiert.
>
> Weiß leider nicht wie ich das Integralkriterium konkret
> anwenden soll - welche Schritte muss ich machen - bitte um
> Hilfe
also erstmal kümmern wir uns um die Grenzen bei der Reihe:
Weil für $n=0$ der Term [mm] $n*e^{-n^2}$ [/mm] einfach [mm] $=0*e^0=0*1=0$ [/mm] ist, können wir zunächst einfach schreiben
[mm] $\summe_{n \ge 0} n*e^{-n^2}=\summe_{n=0}^{\infty} n*e^{-n^2}=\summe_{n=1}^{\infty} n*e^{-n^2}$
[/mm]
Mit [mm] $f(x):=x*e^{-x^2}$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] 1$) gilt dann offenbar, dass [mm] $f(n)=n*e^{-n^2}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$), [/mm] d.h.:
[mm] $\summe_{n \ge 0} n*e^{-n^2}=\summe_{n=1}^{\infty} n*e^{-n^2}$ [/mm] konvergiert nach Deinem Satz genau dann, wenn es
[mm] $\int_{1}^\infty x*e^{-x^2}dx$ [/mm] tut.
Um das letztstehende Integral auf Konvergenz zu überprüfen, substituierst Du entweder [mm] $y:=-x^2$, [/mm] oder aber Du machst Dir einfach klar, dass für
[mm] $f(x)=x*e^{-x^2}$ [/mm] auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] offensichtlich die Funktion $F$ mit
[mm] $F(x)=-\frac{1}{2}e^{-x^2}$ [/mm] eine Stammfunktion ist. Mit dem HDI folgt dann:
[mm] $\int_{1}^\infty f(x)dx=\lim_{R \to \infty} [/mm] F(R)-F(1)=...$
Jetzt kommt nur noch - mehr oder weniger - banales Einsetzen und ein Wissen über [mm] $\exp(.)$ [/mm] ins Spiel...
P.S.:
Du solltest natürlich noch anmerken bzw. beweisen, dass die Funktion $f: [mm] [1,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x*e^{-x^2}$ [/mm] nichtnegativ ist (das ist ziemlich banal, weil auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] der Faktor $x$ nichtnegativ (sogar echt positiv) ist und [mm] $e^{-x^2}$ [/mm] eh echt positiv), und dass diese Funktion $f$ monoton fallend ist (das kann man z.B. mittels der Ableitung zeigen).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 07.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
hallo
danke für die antwort - stimmt überhaupt meine Stammfunktion (dh das ergebnis meines integrierens)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
jein. Ich meine, Du hast geschrieben, "Du integrierst" [mm] $n*e^{-n^2}$ [/mm] und erhälst [mm] $-\frac{1}{2}*e^{-n^2}$. [/mm] Wenn ich das wortwörtlich nehmen würde, dann würdest Du
$f: [mm] \IN \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(n):=n*e^{-n^2}$
[/mm]
integrieren. Das meinst Du aber sicher nicht so.
Was Du aber eigentlich meintest, ist, dass [mm] $\int x*e^{-x^2}dx=F$ [/mm] mit [mm] $F(x)=-\frac{1}{2}*e^{-x^2}$ [/mm] ist (wobei man meist etwas "lax" schreibt: [mm] $\int x*e^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}e^{-x^2}$) [/mm] (und wenn ich Deine Aussage sinngemäß lese, dann interpretiere ich es mal zu Deinen Gunsten, dass Du eigentlich meintest, dass [mm] $\int n*e^{-n^2}dn=-\frac{1}{2}*e^{-n^2}$; [/mm] aber hier ist es natürlich "didaktisch" schlecht, als "Funktions-" bzw. Integrationsvariable $n$ zu wählen, weil man meist "automatisch" denkt, dass $n [mm] \in \IN$ [/mm] wäre).
Wie gesagt:
Formal sagst Du besser, dass für [mm] $f:[1,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x*e^{-x^2}$ [/mm] gilt, dass mit [mm] $\int [/mm] f=F$ mit [mm] $F:[1,\infty) \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $F(x)=-\frac{1}{2}*e^{-x^2}$ [/mm] eine Stammfunktion gegeben ist.
Und wie gesagt:
Wenn Du dies formal nachrechnen willst, dann hast Du zwei Möglichkeiten:
1.) In [mm] $\int x*e^{-x^2}dx$ [/mm] substituierst Du (z.B.) [mm] $y:=-x^2$
[/mm]
2.) Du leitest einfach [mm] $F(x)=-\frac{1}{2}*e^{-x^2}$ [/mm] nach der Kettenregel ab und zeigst damit, dass $F'(x)=f(x)$ für alle $x$ gilt
(Wenn Dir der Definitionsbereich [mm] $[1,\infty)$ [/mm] dafür "nicht schön" genug ist, dann betrachte einfach [mm] $f_1: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_1(x):=x*e^{-x^2}$ [/mm] und zeige, dass [mm] $F_1: \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $F_1(x):=-\frac{1}{2}*x^2$ [/mm] dann eine Stammfunktion von [mm] $f_1$ [/mm] ist; dann kannst Du auch mit [mm] $f_1$ [/mm] und [mm] $F_1$ [/mm] arbeiten, was natürlich nichts ändert, aber ggf. "formal sinnvoller" sein kann je nach Formulierung gewisser Dir zugrundeliegenden Sätze.)
Also Fazit:
Ja, benutze, dass
[mm] $\int x*e^{-x^2}dx=F$ [/mm] mit [mm] $F(x)=-\frac{1}{2}*e^{-x^2}$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
