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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:32 Mo 07.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Man berechne:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(\bruch{e^x}{e^2^x-e^x-6}) dx} [/mm] |
Weiß leider nicht wie ich hier anfangen soll - ich nehme an ich sollte was substituieren...
Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das Beispiel angehen soll
Danke
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Barbara,
ja, Substitution ist schon der richtige Ansatz, substituiere hier:
$u:=e^x$, dann ist $u'=\frac{du}{dx}=e^x$, also $dx=\frac{du}{e^x}$
Damit bekommst du dann $\int{\frac{e^x}{e^{2x}-e^x-6} \ dx}=\int\frac{e^x}{u^2-u-6} \ \frac{du}{e^x}}=\int{\frac{1}{u^2-u-6} \ du}$
Nun mache eine Partialbruchzerlegung:
Ansatz: $\frac{1}{u^2-u-6}=\frac{1}{(u+2)(u-3)}=\frac{A}{u+2}+\frac{B}{u-3}$
Dann kannst du das Integral in die Summe zweier Integrale aufteilen und diese elementar integrieren.
Am Schluss das Resubstituieren nicht vergessen 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 07.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
hallo
ich danke für die rasche Antwort - hab noch eine Frage dazu
Warum verschwindet daß [mm] e^x [/mm] über dem Bruchstrich?
Zur Partialbruchzerlegung:
Ich würde jetzt so weitermachen - möchte nur wissen ob das so passt:
[mm] \bruch{A}{u+2}+\bruch{B}{u-3}
[/mm]
das ergibt
1 - A(u-3) + B(u+2)
umgeformt:
1 = u(A+B) + (-3A+2B)
das ergibt folgende Gleichungen: A+B = 1 un d -3A+2B = 0
dann komm ich auf folgende Werte:
A = [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
B = [mm] \bruch{3}{5}
[/mm]
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{2}{5(u+2)} + \bruch{3}{5(u-3)} du}
[/mm]
wenn ich die Koeffizienten vorziehe ergibt das (ich hoffe das geht so)
[mm] \bruch{2}{5}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u+2} du} [/mm] +
[mm] \bruch{3}{5}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u-3} du}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{5}ln [/mm] (u+2) + [mm] \bruch{3}{5} [/mm] ln (u-3)
und rücksubstituieren
= [mm] \bruch{2}{5}ln (e^x+2) [/mm] + [mm] \bruch{3}{5} ln(e^x-3)
[/mm]
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Hallo babsbabs,
> hallo
>
> ich danke für die rasche Antwort - hab noch eine Frage
> dazu
>
> Warum verschwindet daß [mm]e^x[/mm] über dem Bruchstrich?
Wegen der gemachten Substitution [mm]u=e^{x}[/mm].
>
> Zur Partialbruchzerlegung:
>
> Ich würde jetzt so weitermachen - möchte nur wissen ob das
> so passt:
>
> [mm]\bruch{A}{u+2}+\bruch{B}{u-3}[/mm]
>
> das ergibt
>
> 1 - A(u-3) + B(u+2)
>
> umgeformt:
>
> 1 = u(A+B) + (-3A+2B)
>
> das ergibt folgende Gleichungen: A+B = 1 un d -3A+2B = 0
Korrekt muss es heissen:
[mm]A+B=\red{0}[/mm]
[mm]-3A+2B=\red{1}[/mm]
>
> dann komm ich auf folgende Werte:
>
> A = [mm]\bruch{2}{5}[/mm]
> B = [mm]\bruch{3}{5}[/mm]
Daher bekommt man auch andere Werte für A,B.
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{2}{5(u+2)} + \bruch{3}{5(u-3)} du}[/mm]
>
> wenn ich die Koeffizienten vorziehe ergibt das (ich hoffe
> das geht so)
>
> [mm]\bruch{2}{5}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u+2} du}[/mm] +
> [mm]\bruch{3}{5}\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u-3} du}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{2}{5}ln[/mm] (u+2) + [mm]\bruch{3}{5}[/mm] ln (u-3)
>
> und rücksubstituieren
>
>
> = [mm]\bruch{2}{5}ln (e^x+2)[/mm] + [mm]\bruch{3}{5} ln(e^x-3)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Mo 07.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
auf die gefahr hin lästig zu erscheinen - aber ich wills jetzt ganz genau wissen 
>
> Korrekt muss es heissen:
>
> [mm]A+B=\red{0}[/mm]
> [mm]-3A+2B=\red{1}[/mm]
>
danke für die korrektur
wie bestimme ich den wert richtig auf der rechten seite ( in dem fall 0 und 1)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mo 07.04.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Das folgt aus dem Zähler deiner Funktion.
Du hast ja selbst folgende Gleichung aufgestellt:
[mm] \bruch{A}{u+2}+\bruch{B}{u-3} [/mm]
Das nun auf den Hauptnenner Gebracht ergäbe:
[mm] \bruch{A*(u-3)+B*(u+2)}{(u-3)(u+2)}
[/mm]
uA-3A+uB+2b
Nun schaust du in deinen Zähler der zu integrierenden Funktion und schaust "wie oft du u brauchst":
0 mal, weil kein u im Zähler vorkommt; dann ziehst du alle Faktoren mit einem u heraus; diese müssen 0 ergeben.
Also A+B=0
Sonst gibt es noch das absolute Glied; die 1 im Zähler, welche auch gebildet werden muss.
Es bleiben übrig:
2B-3A=1
Lg
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