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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:59 So 15.01.2006 | | Autor: | Hamburg87 |
Hallo,
Die Funktion f ist gegeben durch f(x)= [mm] \bruch{1}{4}x³- \bruch{3}{4}x²- \bruch{9}{4}x+ \bruch{11}{4}. [/mm] Zeige, dass die Tangenten in den Extrempunkten von f mit dem Graphen von f jeweils Flächen mit gleichem Flächeninhalt einschließen.
.................................................................................
Ich hab die Hoch- und Tiefpunkte rausbekommen, ich kannn ab dieser Stelle nicht weiter
f"(3)=3>0 = T = (3;-4)
f"(-1)=-3<0= H= (-1;4)
MfG Hamburg87
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 So 15.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Hi.
> Die Funktion f ist gegeben durch f(x)= [mm]\bruch{1}{4}x³- \bruch{3}{4}x²- \bruch{9}{4}x+ \bruch{11}{4}.[/mm]
> Zeige, dass die Tangenten in den Extrempunkten von f mit
> dem Graphen von f jeweils Flächen mit gleichem
> Flächeninhalt einschließen.
>
> .................................................................................
> Ich hab die Hoch- und Tiefpunkte rausbekommen, ich kannn
> ab dieser Stelle nicht weiter
> f"(3)=3>0 = T = (3;-4)
> f"(-1)=-3<0= H= (-1;4)
Jo, die stimmen!
Tangenten in den Extrempunkten. Hört sich doch ganz spannend an, oder nicht? Was weißt du denn über Tangenten? In diesem Fall berührt die Tangente den Graphen in den Extrempunkten => d. h. die Tangente hat die selbe Steigung. Zusätzlich kennst du noch den Punkt, den du so schön aufgeschrieben hast. Auch wenn mir nur die Schreibweise " T(3;-4)" geläufig ist.
Grundsätzlich gilt in deinem Fall [mm] m_{Tangente1}=m_{Tangente2}=0
[/mm]
[mm] y_{Tangente1}=0x+b
[/mm]
Für die Tiefpunkt Tangente gilt dann wohl
[mm] y_{Tangente1}=0x-4=-4
[/mm]
Das selbe machst du noch einmal für die zweite Tangente.
Und weiter machst du mit der Flächenberechnung zweier Funktionen : Funktion & Tangente.
Da die Funktion Punktsymmetrisch zu einem Punkt ist, was du aber nicht wissen musst, sollten auch tatsächlich beide Flächeninhalte, die durch die beiden Funktionen eingeschlossen werden, gleich sein.
Alles klar?
>
> MfG Hamburg87
MfG Disap
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Hallo,
2. Bestimmung der Tangenten in Extrempunkten
(da die Steigung des Graphen in Extremstellen immer = Null ist, haben auch die Tangenten die Steigung 0)
Ich setze die Koordinaten der Extrempunkte in folgende Formel zur Bestimmung der Tangentengleichungen
1)
y2 -y / x2 - x = 0
-4 - y = 0
y = - 4
(Die Tangente in E1 ist parallel zur x-Achse)
2)
4-y = 0
y = 4
(Tangente ist ebenfalls Parallele)
Hier taucht mein Problem auf. Wenn die beiden Tangenten parallel sind, wird doch mit dem Graphen f keine Fläche klar eingeschlossen... wie ist also meine Lösung ?
(Die Fläche ist unendlich ? es kann keine Fläche bestimmt werden ?)
vielen Dank schonmal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:39 Di 17.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Hamburg87,
> Hallo,
>
> 2. Bestimmung der Tangenten in Extrempunkten
> (da die Steigung des Graphen in Extremstellen immer = Null
> ist, haben auch die Tangenten die Steigung 0)
>
> Ich setze die Koordinaten der Extrempunkte in folgende
> Formel zur Bestimmung der Tangentengleichungen
> 1)
> y2 -y / x2 - x = 0
> -4 - y = 0
> y = - 4
> (Die Tangente in E1 ist parallel zur x-Achse)
> 2)
> 4-y = 0
> y = 4
> (Tangente ist ebenfalls Parallele)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Deine beiden Tangenten sind also [mm] $y_1=-4$ [/mm] und [mm] $y_2=4$. [/mm]
> Hier taucht mein Problem auf. Wenn die beiden Tangenten
> parallel sind, wird doch mit dem Graphen f keine Fläche
> klar eingeschlossen...
Doch! Denn beide Tangenten haben jeweils zwei Schnittpunkte mit der Funktion $f(x)$, nämlich jeweils den Hoch- bzw. Tiefpunkt und einen anderen Punkt, welchen du ja berechnen kannst. Nun schließt jede Tangente mit der Funktion zwischen diesen beiden Punkten eine Fläche ein. (Veranschauliche dir das am besten grafisch!) Und diese Fläche zwischen der Funktion und jeweils einer Tangente soll gleich sein. Alles klar?
Viele Grüße
Astrid
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Hallo,
Ein Freund von mir hat mir diese Grafik geschickt
http://img42.imageshack.us/my.php?image=ma8ni.png
soll ich jetzt das alles ablesen und die Werte einsetzen? Oder gibt es eine eine andere Möglichkeit oder Funktion ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Di 17.01.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo,
> Ein Freund von mir hat mir diese Grafik geschickt
> http://img42.imageshack.us/my.php?image=ma8ni.png
> soll ich jetzt das alles ablesen und die Werte einsetzen?
Nein, das kannst du auch gar nicht! Die Grafik ist doch aber eine gute Veranschaulichung!
> Oder gibt es eine eine andere Möglichkeit oder Funktion ?
Zuerst mußt du, wie ich dir geschrieben hatte, die Schnittpunkte berechnen. Also bei der ersten Tangente berechnen:
[mm] $f(x)=y_1$, [/mm] also
[mm] $\bruch{1}{4}x³- \bruch{3}{4}x²- \bruch{9}{4}x+ \bruch{11}{4} [/mm] =- 4$
Du hast dann zwei Lösungen:
[mm] $x_1=...$ [/mm] und [mm] $x_2=3$ [/mm] (der Tiefpunkt)
Die Fläche (in der Grafik die gelbe Fläche) berechnest du folgendermaßen:
[mm]\int_{x_1}^{3} (f(x)-y_1) \, dx =\int_{x_1}^{3} (f(x)+4) \, dx [/mm]
Wie du die Grenzen einsetzen mußt ergibt sich aus der Zeichnung.
Viele Grüße
Astrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Di 17.01.2006 | | Autor: | Hamburg87 |
Ok, Danke für deine Hilfe
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