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| Aufgabe | | Skizziere die Kurve r = 2 [mm] *\wurzel{cos(3\phi)} [/mm] mit [mm] \phi \in [/mm] [ - [mm] \pi/6, \pi/6] [/mm] (angegeben in Polarkoordinaten) und bestimme das [mm] \lambda^2 [/mm] Maß der eingeschlossenen (konvexen) Fläche! |
Huhu und einen schönen guten Morgen^^
Die Skizze dazu sieht so aus:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*+sqrt%28cos%283x%29%29+%2C+x+from+-+pi%2F6++to+pi%2F6
Man müsste nach Fubini die Integralreihenfolge tauschen können, da der Radius ja in Abhängigkeit von [mm] \phi [/mm] steht. Also zwei Möglichkeiten die ich in Betracht ziehe wären:
[mm] \integral_{- \pi/6}^{\pi/6} \integral_{?}^{?} [/mm] 2 [mm] *\wurzel{cos(3\phi)} [/mm] dr [mm] d\phi [/mm]
oder
[mm] \integral_{- \pi/6}^{\pi/6} \integral_{- 2 *\wurzel{cos(3\phi)}}^{2 *\wurzel{cos(3\phi)}} [/mm] 1 dr d [mm] \phi
[/mm]
wobei ich bei den Fragezeichen vielleicht von 0 bis 2 setzen würde, da die Randkurve ja in dem Bereich liegt aber da bin ich mir unsicher :/
Liebe Grüße
Evelyn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 10.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Skizziere die Kurve r = 2 [mm]*\wurzel{cos(3\phi)}[/mm] mit [mm]\phi \in[/mm]
> [ - [mm]\pi/6, \pi/6][/mm] (angegeben in Polarkoordinaten) und
> bestimme das [mm]\lambda^2[/mm] Maß der eingeschlossenen (konvexen)
> Fläche!
> Huhu und einen schönen guten Morgen^^
>
>
> Die Skizze dazu sieht so aus:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=2*+sqrt%28cos%283x%29%29+%2C+x+from+-+pi%2F6++to+pi%2F6
>
> Man müsste nach Fubini die Integralreihenfolge tauschen
> können, da der Radius ja in Abhängigkeit von [mm]\phi[/mm] steht.
> Also zwei Möglichkeiten die ich in Betracht ziehe wären:
>
> [mm]\integral_{- \pi/6}^{\pi/6} \integral_{?}^{?}[/mm] 2
> [mm]*\wurzel{cos(3\phi)}[/mm] dr [mm]d\phi[/mm]
>
> oder
>
>
> [mm]\integral_{- \pi/6}^{\pi/6} \integral_{- 2 *\wurzel{cos(3\phi)}}^{2 *\wurzel{cos(3\phi)}}[/mm]
> 1 dr d [mm]\phi[/mm]
>
> wobei ich bei den Fragezeichen vielleicht von 0 bis 2
> setzen würde, da die Randkurve ja in dem Bereich liegt
> aber da bin ich mir unsicher :/
Die gesuchte Fläche ist doch gegeben durch
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{- \pi/6}^{\pi/6}{(r(\phi))^2 d \phi}
[/mm]
FRED
>
> Liebe Grüße
>
> Evelyn
>
>
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> Die gesuchte Fläche ist doch gegeben durch
>
> [mm]\bruch{1}{2}\integral_{- \pi/6}^{\pi/6}{(r(\phi))^2 d \phi}[/mm]
>
> FRED
> >
> > Liebe Grüße
> >
> > Evelyn
Vielen Dank schonmal fred fürs Integral :)
Darf ich fragen wie man es sich herleitet?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 10.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Skizze, bzw was du in Wolfram eingegeben hast ist völlig falsch, du hast ja nicht
y=f(x) sondern [mm] r=r(\phi) [/mm] dabei ist r der Abstand zu 0 und [mm] \phi [/mm] der Winkel zur horizontalen Achse.
Skizziere mal wirklich, und denk dran in ner prüfung oder Klausur hast du kein wolfram!
dann überlege selbst wie man die Fläche ausrechnet,
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> Hallo
> deine Skizze, bzw was du in Wolfram eingegeben hast ist
> völlig falsch, du hast ja nicht
> y=f(x) sondern [mm]r=r(\phi)[/mm] dabei ist r der Abstand zu 0 und
> [mm]\phi[/mm] der Winkel zur horizontalen Achse.
> Skizziere mal wirklich, und denk dran in ner prüfung oder
> Klausur hast du kein wolfram!
> dann überlege selbst wie man die Fläche ausrechnet,
Sry aber das versteh ich nicht ganz. Der Term, den ich bei wolfram eingegeben habe, ist doch grade der Radius, der Abhängig ist von [mm] \phi.
[/mm]
Wenn ich mir einzelne Punkte vornehme und sie betrachte, wie z.b. die Randpunkte und Schnitt mit der y- Achse, würde ich es genauso skizzieren wie ausgegeben von wolfram.
Würde ich r = [mm] r(\phi) [/mm] betrachten, so wie du es geschrieben hast, wäre es doch nur ein Schnittpunkt. [mm] r(\phi) [/mm] als Funktion abhängig von [mm] \phi [/mm] müsste doch so einzeichenbar sein
(dass wir mit wolfrahm arbeiten ist sogar vorgesehen/erwartet, z.b. kann ich mir
f(x,y) = [mm] (x-y)/((x^3+x^2 [/mm] * y + x * [mm] y^2 [/mm] + [mm] y^3) [/mm] * [mm] (log(x^2+y^2))^2))
[/mm]
nicht bildlich vorstellen, was der aufgabenteil davor war :P )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Di 10.12.2013 | | Autor: | abakus |
> > Hallo
> > deine Skizze, bzw was du in Wolfram eingegeben hast ist
> > völlig falsch, du hast ja nicht
> > y=f(x) sondern [mm]r=r(\phi)[/mm] dabei ist r der Abstand zu 0 und
> > [mm]\phi[/mm] der Winkel zur horizontalen Achse.
> > Skizziere mal wirklich, und denk dran in ner prüfung
> oder
> > Klausur hast du kein wolfram!
> > dann überlege selbst wie man die Fläche ausrechnet,
>
> Sry aber das versteh ich nicht ganz. Der Term, den ich bei
> wolfram eingegeben habe, ist doch grade der Radius, der
> Abhängig ist von [mm]\phi.[/mm]
> Wenn ich mir einzelne Punkte vornehme und sie betrachte,
> wie z.b. die Randpunkte und Schnitt mit der y- Achse,
> würde ich es genauso skizzieren wie ausgegeben von
> wolfram.
> Würde ich r = [mm]r(\phi)[/mm] betrachten, so wie du es
> geschrieben hast, wäre es doch nur ein Schnittpunkt.
Hallo,
das ist Unfug. Zeichne dir vom Ursprung aus zwei Strahlen, die mit der x-Achse einen Winkel von [mm] $\pm$30° [/mm] einschließen.
Zwischen diesen beiden Strahlen verläuft die ganze Geschichte. Für den Winkel 0° betragt der Abstand des betreffenden Punktes zum Ursprung 2, bei 30° und -30° ist dieser Abstand jeweils 0.
Das Bild ist also eine Art "Blütenblatt", dass im Ursprung angewachsen ist und nach rechts zeigt.
Gruß Abakus
> [mm]r(\phi)[/mm] als Funktion abhängig von [mm]\phi[/mm] müsste doch so
> einzeichenbar sein
>
> (dass wir mit wolfrahm arbeiten ist sogar
> vorgesehen/erwartet, z.b. kann ich mir
>
> f(x,y) = [mm](x-y)/((x^3+x^2[/mm] * y + x * [mm]y^2[/mm] + [mm]y^3)[/mm] *
> [mm](log(x^2+y^2))^2))[/mm]
>
> nicht bildlich vorstellen, was der aufgabenteil davor war
> :P )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn es denn wolfram sein soll:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=polar+plot+r%28t%29%3D2*sqrt%28cos%283*t%29%29%3B++-pi%2F6%3Ct%3C%2Bpi%2F6
Gruss leduart
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Danke euch beiden für die Erklärung und tut mir leid, wenn ich nicht ganz einsichtig war. Ich stell das mal nicht als Frage um nicht weiterzunerven, aber darauf zu kommen, Winkel zu betrachten wäre ich nicht. Immerhin kriege ich ja fixe Werte wenn ich Werte für [mm] \phi [/mm] in [mm] r(\phi) [/mm] einsetze.
Liebe Grüße und lieben Dank,
Evelyn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:19 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was meibst du mit dem Sart “Immerhin kriege ich ja fixe Werte wenn ich Werte für [mm] \phi [/mm] in r [mm] (\phi) [/mm] einsetze. wenn man einsetzt bekommt man einen Wert ? warum ist der fix?
Gruss leduart
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