Integraleigenschaft, Abschaetz < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Do 09.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
micht interessiert, ob die folgende Eigenschaft gilt: [mm] $f,g:[0,\infty[\rightarrow\IC$ [/mm] stetige integrierbare Funktionen. Frage: Gilt
[mm] \left|\int_{0}^{\infty}f(x)\cdot g(x)dx\right|\leqslant\left(\max_{x\in[0,\infty[}\left|g(x)\right|\right)\cdot\left|\int_{0}^{\infty}f(x)dx\right| [/mm] ??
Auf den ersten Blick sah mir die Abschaetzung wie die Hoelder-Ungleichung aus, doch bei der Hoelder-Ungleichung steht auf der linken Seite und beim zweiten Term auf der rechten Seite der Betrag im Integral. Wenn ich mich nicht taeusche, sollte die doch eine triviale abschaetzung sein, oder?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Do 09.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Hallo an alle,
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> micht interessiert, ob die folgende Eigenschaft gilt:
> [mm]f,g:[0,\infty[\rightarrow\IC[/mm] stetige integrierbare
> Funktionen. Frage: Gilt
>
> [mm]\left|\int_{0}^{\infty}f(x)\cdot g(x)dx\right|\leqslant\left(\max_{x\in[0,\infty[}\left|g(x)\right|\right)\cdot\left|\int_{0}^{\infty}f(x)dx\right|[/mm]
> ??
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> Auf den ersten Blick sah mir die Abschaetzung wie die
> Hoelder-Ungleichung aus, doch bei der Hoelder-Ungleichung
> steht auf der linken Seite und beim zweiten Term auf der
> rechten Seite der Betrag im Integral. Wenn ich mich nicht
> taeusche, sollte die doch eine triviale abschaetzung sein,
> oder?
die Abschätzung wäre trivial, wenn rechterhand [mm] $|f|\,$ [/mm] als Integrand stünde - und wenn [mm] $|g|\,$ [/mm] überhaupt ein Maximum besitzt (was ja nicht sein muss). So, wie die Abschätzung bei Dir da steht, ist sie falsch. Betrachte z.B. [mm] $f(x)=\frac{1}{\lfloor x \rfloor+1}*\sin(2\pi*x)$ [/mm] und [mm] $g=-f\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $\left|\int_0^\infty f*g\right|=\left|-\int_0^\infty f^2\right|=\int_0^\infty f^2 [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] aber [mm] $\int_0^\infty f=0\,.$ [/mm] (Insbesondere ist [mm] $f\,$ [/mm] (und damit auch [mm] $g\,$) [/mm] eine auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] stetige und integrierbare Funktion).
P.S.: Mein Beispiel greift allerdings nicht, wenn Du Integrale im Lebesgueschen Sinne meinst. Aber auch dann kann man [mm] $f\,$ [/mm] leicht verifizieren (anstatt [mm] $\lfloor x\rfloor+1$ [/mm] schreibt man dann z.B. [mm] $($\lfloor x\rfloor+1)^2$) [/mm] und sieht auch dann, dass die Abschätzung so nicht stimmen kann.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 09.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank fuer die Antwort.
Okay. Deine Argumentation sehe ich soweit ein. Bei meinem speziellen Fall weiss ich, dass
1.) [mm] $\left(\max_{x\in[0,\infty[}\left|g(x)\right|\right)<\infty$, [/mm] d.h. das Maximum existiert
2.) [mm] $\int_{0}^{\infty}f(x)dx<\infty$, [/mm] d.h. $f$ ist integrierbar
3.) $f$ ist positiv (!!!), genauer [mm] $f(x)\geqslant [/mm] 0$ [mm] $\forall\,x\in [0,\infty[$
[/mm]
Unter diesen Bedingungen sollte die Ungleichung doch gelten, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Do 09.09.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank fuer die Antwort.
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> Okay. Deine Argumentation sehe ich soweit ein. Bei meinem
> speziellen Fall weiss ich, dass
>
> 1.)
> [mm]\left(\max_{x\in[0,\infty[}\left|g(x)\right|\right)<\infty[/mm],
> d.h. das Maximum existiert
> 2.) [mm]\int_{0}^{\infty}f(x)dx<\infty[/mm], d.h. [mm]f[/mm] ist
> integrierbar
> 3.) [mm]f[/mm] ist positiv (!!!), genauer [mm]f(x)\geqslant 0[/mm]
> [mm]\forall\,x\in [0,\infty[[/mm]
>
> Unter diesen Bedingungen sollte die Ungleichung doch
> gelten, oder?
ja, dann ist es trivial, denn dann folgt es sofort so (die Integrationsgrenzen bzw. auch den Teil bei [mm] $\max(|g|)$ [/mm] kannst Du ja selbst ergänzen)
[mm] $$\left|\int (f*g)\right| \le \int |f*g|=\int (|f|*|g|)\le\int (\max(|g|)*|f|)=\max(|g|)*\int |f|=\max(|g|)*\underbrace{\int f}_{=\left|\int f\right|}\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Do 09.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Vielen dank nochmal.
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