Integrale bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | Bestimme die folgenden Integrale
b) [mm] \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} \bruch{dx}{\wurzel{x}}
[/mm]
c) [mm] \integral_{\bruch{1}{8}}^{2} \bruch{dx}{\wurzel[3]{x}}
[/mm]
d) [mm] \integral_{-4}^{-2} (x^2 [/mm] + 6x -5)dx |
Guten Abend!
Ich soll einige Integrale berechnen.
Das werd ich dann auch mal direkt angehen ;).
Über Tipps freue ich mich natürlich
zu [mm] b)\integral_{\bruch{1}{2}}^{1} \bruch{dx}{\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} \bruch{dx}{x^\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \integral_{\bruch{1}{2}}^{1} x^{-\bruch {1}{2}} [/mm] dx = [mm] [2x^\bruch{1}{2}]_\bruch{1}{2}^{1} [/mm] = 2- [mm] 2{\bruch {1}{2}}^{0.5} [/mm] = [mm] 2-\wurzel{2}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
zu c)
$ \integral_{\bruch{1}{8}}^{2} \bruch{dx}{\wurzel[3]{x}} $ =$ \integral_{\bruch{1}{8}}^{2} x^{-\bruch{1}{3}dx $ = [\bruch{3}{2}x^\bruch{2}{3}]_\bruch{1}{8}^{2} =
???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
bei c) komme ich dann auf
[mm] \bruch {3}{2}\wurzel[3]{4} [/mm] -6
habe aber [mm] 3*2^{-\bruch{1}{3}} -\bruch{3}{8} [/mm] angegeben
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Hallo
deine Aufleitung ist richtig 
Als ergebnis kommt [mm] \approx [/mm] 2 heraus
Du musst einfach die grenezen einsetzen. Schau: [mm] \bruch{3}{2}2^{ \bruch{2}{3}} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2} (\bruch{1}{8})^{ \bruch{2}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}( \wurzel[3]{4} [/mm] - [mm] \wurzel[3]{ \bruch{1}{64}}) \approx [/mm] 2
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
ok :)
Dann lassen wir uns nicht weiter von der Art und Weise des angegebenen Ergebnisses verwirren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
So, das waren die ersten 4 Integrale.
Vielen Dank für die Kontrolle, Tyskie84!
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Hallo!
zu b)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:25 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
bei der c)
habe ich die Summe auseinander gezogen in der einzelne Integrale (geht das?...), die waren jeweils recht einfach. Sollte
[mm] -27\bruch{1}{3} [/mm] bei rauskommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | e) $ [mm] \integral_{-2}^{4} x^2 (x^2 [/mm] -1) dx $
f) $ [mm] \integral_{2}^{3} \bruch{x^2 -3x +4}{x} [/mm] dx $
g) $ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{(x+1)}{\wurzel{|x|}} [/mm] dx $
h) $ [mm] \integral_{0}^{1}\bruch{dx}{x-2} [/mm] $ |
Die gefallen mir schon nicht mehr so. ;)
Kann mir jemand von euch den ein oder anderen Tipp geben? besonders g) macht mir Angst.
Bis später
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Hallo versuche mal ansetze zu bringen die ersten sind ja nicht wirklich schwer.
zu e) klammer auflösen...fertig
zu f) polynomdivision...fertig
zu g) was bedeutet denn dein Betrag?
zu h) wenns gar nicht anders geht substituiere
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
Falls du mir bei der e) sagen wolltest, dass ich erstmal ausmultiplizieren soll, dann hätte ich 187,2 anzubieten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
ok ok ...
f) ist jetzt auch klar soweit.
[mm] =-\bruch{1}{2}+4log3-4log2.
[/mm]
zur g)
Ich denke mal, dass das da ist damit man die Wurzel ziehen kann. Aber teilt man nicht durch 0? der Betrag ist doch zudem nicht stetig. Muss ich das aufteilen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 16.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
deine f) verstehe ich nicht ich bekomm da was anderes raus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
Nach Polynomdivision habe ich
f) $ [mm] \integral_{2}^{3} [/mm] x-3+4* [mm] \bruch{1}{x} [/mm] dx$ = [mm] [\bruch{1}{2}x^2-3x+4(logx)]_2^3 [/mm] = [mm] \bruch [/mm] {5}{2} -3 + 4(log3 -log2)
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Aufleitung ist: [mm] \bruch{1}{2}x²-3x+4ln(x) [/mm] = jetzt grenzen richtig einsetzen und du bekommst [mm] \approx [/mm] 1,12 heraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
da sind wir wohl einer Meinung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
h)
= [mm] ln|x-2|_0^1 [/mm] = ln|-1|-ln|-2| = 0 - ln|2|
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:22 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
| Aufgabe | i) $ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{dx}{3x+2} [/mm] $
j) $ [mm] \integral_{-2}^{0} \bruch{x^2 -x +1}{x-2} [/mm] dx$
k) $ [mm] \integral_{-2}^{-2} \bruch{x^4}{x-1} [/mm] dx$
l) $ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{dx}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}} [/mm] $ |
und die letzten 4 für heute ;)
bei Scherz-Integralen wie k) kommt immer 0 raus oder?
i) werde ich wieder über ln versuchen
j) über Polynomdivision.
Ok?
Bei l) bin ich grade überfragt^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 So 16.12.2007 | | Autor: | ebarni |
i = [mm] \integral_{0}^{1}{(3x+2)^{-1} dx} [/mm]
Dann Potenz- bzw. Kettenregel anwenden
Grüße, Andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 16.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Was meinst du mit Kettenregel? Du meinst wohl substitution, oder?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 So 16.12.2007 | | Autor: | ebarni |
Hallo Tyskie
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
bei der i) würde ich mal gerne eine Partialbruchzerlegung machen.
Allerdings weiß ich nicht was ich genau formulieren muss.
[mm] \bruch{1}{3x+2}=A [/mm] ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
Wow. Nochmals Vielen Dank für deine Hilfe :)
Werde mir dann morgen nach i,j,l,g angucken. Jetzt muss ich erstmal verstehen was Substitution ist.
Schönen Abend allseits !
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 So 16.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hattet ihr noch keine Substitution?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:21 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
Hatten wir schon. Ich hab s aber nie verstanden ;)
In meinem Skript sehe ich grade, dass [mm] \integral \bruch{dx}{x-a} [/mm] = ln|x-a| ist, was mir ja weiterhelfen sollte wenn ich [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ausgeklammert habe.
Aber egal. Will jetzt erstmal Substitution können :)
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:33 So 16.12.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
was meinst du mit potenzregel. Tea hatte schon recht mit dem ln
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Tea |
bei j)
$ [mm] \integral_{-2}^{0} \bruch{x^2 -x +1}{x-2} [/mm] dx $
hilft Polynomdivision nicht weiter, oder?
Ich hab nach Teilen durch (x-2) = x+1 Rest 3 raus. Wie kann ich denn da den Rest verarbeiten?
Oder bilde ich besser drei einzelne Integrale?
danke :)
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Hallo Tea!
[mm] $$\integral_{-2}^{0}{\bruch{x^2 -x +1}{x-2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-2}^{0}{x+1+\bruch{3}{x-2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{-2}^{0}{x+1 \ dx}+3*\integral_{-2}^{0}{\bruch{1}{x-2} \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Kommst Du damit weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Tea |
$ [mm] \integral_{-2}^{0}{x+1+\bruch{3}{x-2} \ dx} [/mm] \
Jetzt weiß ich also was mit dem Rest nach der Polynomdivision passiert.
Das wäre also
[mm] \integral_{-2}^{0}{x dx} [/mm] + [mm] \integral_{-2}^{0}{1 dx} [/mm] + 3* [mm] \integral_{-2}^{0}{\bruch{3}{x-2}dx}.
[/mm]
Die ersten 2 sind ja kein Problem. Kann ich das 3. denn einfach so integrieren? (zB mit Substitution?)
Der Begriff "Uneigentliches Integral" sagt mir nichts ....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Tea |
s.o. ;)
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Hallo Tea!
> Das wäre also
>
> [mm]\integral_{-2}^{0}{x dx}[/mm] + [mm]\integral_{-2}^{0}{1 dx}[/mm] + 3* [mm]\integral_{-2}^{0}{\bruch{3}{x-2}dx}.[/mm]
> Die ersten 2 sind ja kein Problem. Kann ich das 3. denn
> einfach so integrieren? (zB mit Substitution?)
Ja!
> Der Begriff "Uneigentliches Integral" sagt mir nichts ....
Der Begriff besagt, dass ich die Grenze $-2_$ nicht einsetzen darf, da dies eine Definitionslücke der Ausgangsfunktion ist.
Von daher musst Du die oben angedeutete Grenzwertbetrachtung machen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Tea |
hi roadrunner!
ich mal mich mal gleich ans integrieren. Mit Substitution :)
Dein Argument mit "-2" Definitionslücke der Ausgangsfunktion verstehe ich nicht. Wäre dies nicht nur bei "2" der Fall weil der Nenner dann 0 würde?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:09 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Tea!
Da hast Du natürlich völlig Recht mit dieser Anmerkung. Da habe ich wohl etwas geschlafen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Tea |
Ich hab auch grade geschlafen. :)
Danke für deine Hilfe! JEtzt weiß ich ja, dass ich mir als nächstes nach partieller Integration "Uneigentliche Integrale" angucken sollte.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Tea |
$ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{(x+1)}{\wurzel{|x|}} [/mm] dx $
Bekomme ich immer noch nicht hin ... Kann mir da jemand einen Tipp geben? Das Integral muss ich doch erstmal aufteilen in einen Bereich von -1 bis 0 und in einen von 0 bis 1 oder?
Falls ja, was dann?
Die anderen Aufgaben hab ich soweit. Lade ich nachher mal hoch vielleicht hat ja einer Zeit und Lust drüber zu gucken :)
Bis dann
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 Mo 17.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Durch die Wurzel dividieren, dann hast du 2 einfache Summanden. wegen des Betrags musst du wirklich aufteilen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Di 18.12.2007 | | Autor: | Tea |
Hallo Leduart!
Meinst du das?
$ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{(x+1)}{\wurzel{|x|}} [/mm] dx $
= 2*$ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{(x+1)}{\wurzel{|x|}} [/mm] dx $ = 2* $ [mm] \integral_{0}^{1} \bruch{(x^2 +2x +1 )}{\wurzel{|x|}} [/mm] dx $ = $ 2* [mm] \integral_{0}^{1} (x^\bruch{3}{2} [/mm] + [mm] 2*x^\bruch{1}{2}+ \bruch{1}{\wurzel{x}}) [/mm] dx $
=
[mm] 2*([\bruch{2}{5}x^\bruch{5}{2}]_0^1 [/mm] + [mm] (\bruch{4}{3}x^\bruch{3}{2}]_0^1+ [2*\wurzel{x}]_0^1)
[/mm]
?
Da kommt nach Einsetzen bei mir [mm] 2*\bruch{66}{15}raus, [/mm] was aber falsch ist. Mag mir jemand sagen wo mein Fehler liegt?
Danke!
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Hallo Stefan,
> Hallo Leduart!
>
> Meinst du das?
>
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{(x+1)}{\wurzel{|x|}} dx[/mm]
>
> = 2*[mm] \integral_{0}^{1} \bruch{(x+1)}{\wurzel{|x|}} dx[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das gilt nicht !!
> = 2*
> [mm]\integral_{0}^{1} \bruch{(x^2 +2x +1 )}{\wurzel{|x|}} dx[/mm] =
> [mm]2* \integral_{0}^{1} (x^\bruch{3}{2} + 2*x^\bruch{1}{2}+ \bruch{1}{\wurzel{x}}) dx[/mm]
ich denke, leduart meinte es eher so:
[mm] $\int\limits_{-1}^{1}{\frac{x+1}{\sqrt{|x|}} \ dx}=\int\limits_{-1}^{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{|x|}}+\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right) \ dx}$
[/mm]
Das nun aufteilen in:
[mm] $=\int\limits_{-1}^{0}{\left(\frac{x}{\sqrt{|x|}}+\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right) \ dx}+\int\limits_{0}^{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{|x|}}+\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right) \ dx}$
[/mm]
Nun sind die x im ersten Integral [mm] \le [/mm] 0, also ist $|x|=-x$, im zweiten [mm] x\ge [/mm] 0, also $|x|=x$
Damit
[mm] $=\int\limits_{-1}^{0}{\left(\frac{x}{\sqrt{\red{-x}}}+\frac{1}{\sqrt{\red{-x}}}\right) \ dx}+\int\limits_{0}^{1}{\left(\frac{x}{\sqrt{\blue{x}}}+\frac{1}{\sqrt{\blue{x}}}\right) \ dx}$
[/mm]
Das nun mit Potenzgesetzen umformen, damit man's leichter integrieren kann:
[mm] $=\int\limits_{-1}^{0}{\left[-\left(-x\right)^{\frac{1}{2}}+\left(-x\right)^{-\frac{1}{2}}\right] \ dx}+\int\limits_{0}^{1}{\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right) \ dx}$
[/mm]
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet/verschrieben...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:29 So 16.12.2007 | | Autor: | Tea |
die g) mach ich morgen. die nervt mich grade ^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Di 18.12.2007 | | Autor: | Tea |
Soweit wären wir dann ;).
g) Sollte nach Ausmultiplizieren und teilen durch [mm] \wurzel{x} [/mm] ja auch kein Problem sein.
Gibt s da keinen eleganteren Weg?
Dankeschön!
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PDF) [nicht öffentlich]
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> g) Sollte nach Ausmultiplizieren und teilen durch
> [mm]\wurzel{x}[/mm] ja auch kein Problem sein.
> Gibt s da keinen eleganteren Weg?
Hallo,
"elegant" für den Leser wäre es auf jeden Fall, wenn Du die zweite Phalanx Deiner Aufgaben in einer gesonderten Diskussion gestellt hättest. Da müßte man die Aufgabe g) nämlich nicht erstmal suchen...
Was Du mit dem Ausmultiplizieren meinst, weiß ich nicht.
Beim Teilen mußt Du bedenken, daß Du nicht durch [mm] \wurzel{x} [/mm] zu teilen hast, sondern durch [mm] \wurzel{|x|}.
[/mm]
Ich fürchte, Du mußt die Funktion in zwei Teilfunktionen aufteilen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Fr 21.12.2007 | | Autor: | Tea |
Hi Angela!
Danke für deinen Hinweis. Habe die Aufgabe heute endlich lösen können.
Eine andere ähnliche Aufgabe hatte mich einfach zu viel verwirrt...
Ich schreib die Lösung später mal rein. Vielleicht interessiert es ja
:)
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