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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Sa 23.01.2016 | | Autor: | Balulo |
| Aufgabe | (i) Sei [mm] A=\{(x,y)\in \mathbb{R}^{2}:x^2+y^2=5\}. [/mm] Berechne [mm] \int_A \! x^{2}\,
[/mm]
(ii) Sei [mm] f:[0,3]\rightarrow\mathbb{R} [/mm] gegeben, so dass [mm] \int_0^3 \! [/mm] f(x) [mm] \,\mathrm{d}x [/mm] existiert. Gib eine Funktion g und eine Konstante C an, so dass
[mm] \int_0^3 \! [/mm] f(x) [mm] \,\mathrm{d}x [/mm] = C [mm] \cdot \int_a^b \! [/mm] g(x) [mm] \, \mathrm{d}x. [/mm] |
Hallo liebe Vorhilfe-Community,
ich bin neu hier und hoffe, dass mir jemand bei den obigen Aufgaben helfen kann.
Bei (i) weiß ich nicht, wie man über so eine Menge (das ist ja ein Kreis) integriert. Im Internet habe ich irgendwie nichts dazu gefunden, vielleicht aber auch nur, weil ich den falschen Suchbegriff eingegeben habe. Vielleicht kann mir jemand die Vorgehensweise erklären?
Gibt es eine bestimmte Vorgehensweise, wie man (ii) lösen kann? Oder geht das nur durch ausprobieren? Brauche ich nicht auch eine bestimmte Funktion f(x)?
Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Was ist mit [mm]\int_A x^2[/mm] gemeint? Vielleicht [mm]\int_A x^2 ~ \mathrm{d}(x,y)[/mm]? Und soll [mm]A[/mm] wirklich nur die Kreislinie [mm]\ldots = 5[/mm] und nicht etwa die Kreisfläche [mm]\ldots \leq 5[/mm] sein? Bezüglich zweidimensionaler Integration jedenfalls ist [mm]A[/mm] eine Nullmenge.
Und was spricht in (ii) dagegen, [mm]g(x) = \frac{1}{b-a}[/mm] und [mm]C = \int_0^3 f(x) ~ \mathrm{d}x[/mm] zu wählen?
Merkwürdige Aufgaben ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Sa 23.01.2016 | | Autor: | Balulo |
Erst einmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Zu (i): Die Aufgabe habe ich genau so abgetippt, wie sie uns gestellt wurde. Ist A die Nullmenge, weil wir mit der Gleichung nur die Kreislinie betrachten?
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Bei zweidimensionaler Integration sind Strecken, Kurven und so weiter Nullmengen, denn sie besitzen den Flächeninhalt 0. Und Integrale über Nullmengen sind selbst auch 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 So 24.01.2016 | | Autor: | Balulo |
Klar, das ist logisch. Danke! Angenommen in der Aufgabe würde [mm] \leq [/mm] stehen. Wie würde man das dann lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 So 24.01.2016 | | Autor: | fred97 |
> Klar, das ist logisch. Danke! Angenommen in der Aufgabe
> würde [mm]\leq[/mm] stehen. Wie würde man das dann lösen?
Mit Polarkooerdinaten bekommt man
[mm] $\integral_{A}^{} x^2 d(x,y)=\integral_{0}^{2 \pi}(\integral_{0}^{\wurzel{5}}r^3cos(\phi) [/mm] d r) d [mm] \phi$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 So 24.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
was spricht eig. dagegen, [mm] $\int_A x^2$ [/mm] als Kurvenintegral zu interpretieren (zumal kein Differential anzeigt, um was fuer eine Integration es sich handelt!?)
Gruss,
Chris
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Ich habe bereits in meinem ersten Beitrag darauf hingewiesen, daß bei [mm]\int_A x^2[/mm] etwas fehlt. Ich bin später von einem Bereichsintegral ausgegangen. Dann würde [mm]\mathrm{d}(x,y)[/mm] oder [mm]\mathrm{d}x ~ \mathrm{d}y[/mm] oder so etwas fehlen. Es könnte natürlich auch ein Kurvenintegral sein. Aber auch dann fehlen Differentiale, so daß man das [mm]x^2[/mm] zuordnen kann.
Ich wettere immer dagegen, wenn man Fragesteller nicht auffordert, falsche oder unvollständige Angaben richtigzustellen, sondern glaubt, man wüßte ja, was der Fragesteller meint, und die Aufgabe für sich selbst "verbessert". Das erzieht nur zur Oberflächlichkeit und Schlampigkeit. Und zu guter Letzt ist es doch anders gemeint, als man dachte.
Und jetzt habe ich selbst gegen meine eigenen Grundsätze verstoßen. Das kommt davon ...
Ich werde mich nicht mehr äußern, bis der Fragesteller und sonst niemand eine korrekte Aufgabenstellung liefert. Und wenn die Aufgabenquelle verseucht ist, muß man dort ansetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 So 24.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Hey Leopold,
ich wollte dich keineswegs angreifen, oder so. Sorry, wenn das so rueberkam....
Wollte eben nur einwerfen, dass es sich eben auch um nen anderen Integraltyp handeln koennte...
Gruss,
Chris
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Oh, ich habe mich gar nicht angegriffen gefühlt. Ich habe deinen Beitrag nur zum Anlaß genommen, mit mir selbst zu schimpfen. Bevor die Daten einer Aufgabe nicht stimmen, sollte man sich auch nicht mit der Lösung beschäftigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 25.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Oh ok ;)
Dann habe ich das einfach falsch interpretiert :)
Dann ist ja alles gut :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 So 24.01.2016 | | Autor: | Balulo |
Alles klar, das verstehe ich. Wie gesagt, ich habe die Aufgabe genau so abgetippt, wie sie gestellt wurde. Aber dann muss ich wohl einfach noch einmal bei meinem Aufgabensteller nachfragen, wie genau es gemeint ist.
Danke für deine Erläuterung!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 So 24.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Aus reiner Neugierde:
Gibt es einen Link zu den Uebungsaufgaben? :)
Gruss,
Chris
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 So 24.01.2016 | | Autor: | fred97 |
Aufgabe (ii) ist ja köstlich !! Wie wäre es mit
a=0,b=3 , C=1 und g=f ?
FRED
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Die Aufgabenstellung gibt die freie Wählbarkeit von [mm]a,b[/mm] nicht her. So lese ich das jedenfalls.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 So 24.01.2016 | | Autor: | Balulo |
Ja, ich hätte es auch so verstanden, dass man a und b nicht beliebig wählen darf.
Ist (i) so wie die Aufgabe gestellt ist, nun wirklich die Nullmenge - so wie Leopold_Gast es erklärt hatte, erschien es mir ganz logisch. Aber Chris 84 hatte noch etwas von Kurvenintegral geschrieben?
Vielen Dank für die ganzen Antworten!
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Ich habe auf die Mittteilung von Chris84 geantwortet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mo 25.01.2016 | | Autor: | Balulo |
Es gibt ein Update zur Aufgabe:
Integration über eine Untermannigfaltigkeit. D.h., dass der Streckungsfaktor wahrscheinlich nicht die Determinante einer 2x2-Matrix ist. Es handelt sich auch nicht um ein Kurvenintegral.
Damit kann ich aber absolut nichts anfangen. Kann mir jemand helfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mo 25.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
Huhu,
> Es gibt ein Update zur Aufgabe:
Ich wiederhole meine Frage von weiter oben: Gibt es einen Link zu den Uebungsaufgaben?
> Integration über eine Untermannigfaltigkeit. D.h., dass
Untermannigfaltigkeit bzgl was (welcher Mannigfaltigkeit!?) Natuerlich sehe ich ein, dass $A$ als Kurve eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des [mm] $\IR^n,n\ge2$, [/mm] ist.
> der Streckungsfaktor wahrscheinlich nicht die Determinante
> einer 2x2-Matrix ist. Es handelt sich auch nicht um ein
> Kurvenintegral.
>
> Damit kann ich aber absolut nichts anfangen. Kann mir
Ich frage mich gerade, wie das sein kann!? Hattet ihr das nicht in der Vorlesung und dennoch gibt es dazu eine Uebungsaufgabe? oO
> jemand helfen?
Hast du mal "Integration über Untermannigfaltigkeiten" in Google reingehauen. Wenn ich auf den ersten Link klicke, erhalte ich eine PDF, auf deren 10ten Seite steht, dass ein Integral ueber eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit gerade ein Kurvenintegral ist (siehe Formel (4.2.) in der PDF; dort ist sogar deine Notation ohne Differential zu finden).
Gruss,
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mo 25.01.2016 | | Autor: | Balulo |
Nein, einen Link gibt es nicht. Da ich die Aufgabe 1 zu 1 abgetippt habe, würde das auch nichts ändern. Die Thematik wird als bekannt vorausgesetzt, ich habe allerdings die Uni und den Studiengang gewechselt und hatte das dort einfach nicht.
Jedenfalls danke für die Hilfe, ich werde einfach noch mal bei Google recherchieren bzw. mit Kommilitonen quatschen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Mo 25.01.2016 | | Autor: | Chris84 |
> Nein, einen Link gibt es nicht. Da ich die Aufgabe 1 zu 1
> abgetippt habe, würde das auch nichts ändern. Die
> Thematik wird als bekannt vorausgesetzt, ich habe
> allerdings die Uni und den Studiengang gewechselt und hatte
> das dort einfach nicht.
> Jedenfalls danke für die Hilfe, ich werde einfach noch
> mal bei Google recherchieren bzw. mit Kommilitonen
> quatschen.
>
Hmmm, ok....
wie ich bereits andeutete, wuerde ich auf ein Kurvenintegral tippen, ABER (ich stimme da mit Leopold ueberein), so ganz genau kann man das nicht sagen ;)
Wuerde mich aber im Endeffekt schon interessieren, was es denn dann nun war (sobald du's weisst) ;)
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