Integrale < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 So 19.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Sei $F:[0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] eine stetige Funktion. Beweisen Sie:
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{x^k}dx [/mm] = f(0)$. |
Ich dachte mir erst, ich mach es mir einfach und bilde die Stammfunktion von $f$. Aber es kommt [mm] $f[(x)]_0^1$ [/mm] raus. Außerdem steht hier auch nirgends, dass die Funktion $f$ diff'bar ist.
Dann dachte ich mir, den Grenzwert irgendwie in die Funktion zu bekommen. Aber dafür kenne ich auch kein Satz.
Ich verzweifel. Kann mir jemand einen Tipp geben?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ja:
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{x^k}dx [/mm] $.
Berechnen wir erstmal das Integral:
[mm] \int\limits_{0}^{1}x^{k}dx=\left[k\cdot x^{k-1}\right]_{0}^{1}=k\cdot 1^{k-1}-0=k
[/mm]
Also:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\int\limits_{0}^{1}x^{k}dx
[/mm]
[mm] =\limes_{k\rightarrow\infty}k
[/mm]
Vergleiche das nun mit
[mm] \lim{x\to0^{+}}x^{k}
[/mm]
Das ergibt leider unterschiedliche Grenzwerte.
Meinst du vielleicht:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\int\limits_{0}^{1}x^{\red{-}k}dx
[/mm]
mit [mm] F(0):=\infty
[/mm]
Dann würde das ganze nämlich funktionieren.
Marius
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 So 19.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hallo Marius,
> Berechnen wir erstmal das Integral:
>
> [mm]\int\limits_{0}^{1}x^{k}dx=\left[k\cdot x^{k-1}\right]_{0}^{1}=k\cdot 1^{k-1}-0=k[/mm]
Ist das nicht:
[mm] $\integral{x^k} [/mm] dx = [mm] [\bruch{1}{k+1}x^{k+1}]$ [/mm] ?
> Das ergibt leider unterschiedliche Grenzwerte.
>
> Meinst du vielleicht:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\int\limits_{0}^{1}x^{\red{-}k}dx[/mm]
> mit [mm]F(0):=\infty[/mm]
>
> Dann würde das ganze nämlich funktionieren.
Wie meinst du das? $F(0) = [mm] \infty$? [/mm] Ich hab keine weiteren Bedingungen in der Aufgabe... Soll ich das einfach setzen? Ich bin verwirrt?!
Danke und liebe Grüße
Ana-Lena
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du [mm] g(x)=x^{-x} [/mm] hättest, könntest du das zu [mm] g(x)=\frac{1}{x^{k}} [/mm] umformen, ud für dieses gilt:
[mm] \lim_{x\to0}\frac{1}{x^{k}}=\infty
[/mm]
Setzt man das, würde deine Aufgabe Sinn machen.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 So 19.02.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Überprüf mal die Aufgabenstellung. Vermutlich sollst du
$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}f({x^k})dx [/mm] = f(0) $
zeigen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo!
>
> Überprüf mal die Aufgabenstellung. Vermutlich sollst du
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}f({x^k})dx = f(0)[/mm]
>
> zeigen.
Hallo
Das macht sogar noch mehr Sinn, als meine "Interpretation". Hier ist die Definitionsmenge [0;1] nämlich entscheidend, was sie bei meiner Deutung nicht ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 So 19.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Meine ich doch :)... so ein Misst. Ihr habt natürlich Recht! Suche ich da ne Majorante oder was mache ich da?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 19.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Meine ich doch :)... so ein Misst. Ihr habt natürlich
> Recht! Suche ich da ne Majorante oder was mache ich da?
Für 0<x<1 gilt doch:
[mm] x^{n}>x^{n+1}
[/mm]
Zeige das evtl per Induktion.
Was passiert also mit [mm] x^{k} [/mm] , wenn [mm] k\to\infty [/mm] läuft?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 So 19.02.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Hey Marius,
also ist das nicht [mm] $0\le x\le [/mm] 1$? Kann ich den Limes nicht nur bei monoton steigenden Fkt hineinziehen?
Hmmm... Krasse Aufgaben
>
> > Meine ich doch :)... so ein Misst. Ihr habt natürlich
> > Recht! Suche ich da ne Majorante oder was mache ich da?
>
>
> Für 0<x<1 gilt doch:
>
> [mm]x^{n}>x^{n+1}[/mm]
>
> Zeige das evtl per Induktion.
>
> Was passiert also mit [mm]x^{k}[/mm] , wenn [mm]k\to\infty[/mm] läuft?
>
> Marius
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 19.02.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Du musst den Satz von Lebesgue anwenden. [mm]f(x^k)[/mm] konvergiert auf [0,1] fast überall gegen f(0) (Wieso?). Dann brauchst du noch eine integrierbare Majorante, die man aber auch leicht findet.
Wende dann den Satz von Lebesgue an.
Beste Grüße,
Berieux
|
|
|
|
