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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo.
Ich komme nicht auf den Ansatz, kann mir jemand helfen? Und wenn ich doch einen Geistesblitz habe oder mir durch einen Tipp dieser kommt, vielleicht wäre dann noch jemand bereit meine Rechnung zu korrigieren?
Das wäre so nett 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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zu a)
Mit einer simplen Substitution wird das soooo einfach:
z=tan(x)
[mm] \bruch{dz}{dx}=\bruch{1}{cos(x)^2}
[/mm]
[mm] dx=dz*cos(x)^2
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1+tan(x)}{sin(2x)}dx}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{cos(x)^2*(1+\bruch{sin(x)}{cos(x)})}{2*sin(x)*cos(x)}dz}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{cos(x)*(1+\bruch{sin(x)}{cos(x)})}{2*sin(x)}dz}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{cos(x)*+sin(x)}{2*sin(x)}dz}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{cos(x)}{2sin(x)}+\bruch{1}{2}dz}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{1}{2tan(x)}+\bruch{1}{2}dz}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{1}{2z}+\bruch{1}{2}dz}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{z}+1dz}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*(ln(|z|)+z)
[/mm]
[mm] =\bruch{ln(|tan(x)|)+tan(x)}{2}
[/mm]
zu b)
Partialbruchzerlegung:
[mm] \bruch{x^2+1}{x^3-2x^2+x}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{(x-1)^2}+\bruch{C}{x-1}
[/mm]
Ausmultiplizieren, die Konstanten bestimmen zu A=1 B=2 und C=0
[mm] \integral{\bruch{1}{x}+\bruch{2}{(x-1)^2}dx}
[/mm]
[mm] =ln(|x|)-\bruch{2}{x-1}
[/mm]
zu c)
Substitution [mm] z=e^x+1
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{dx}=e^x
[/mm]
[mm] dx=\bruch{dz}{e^x}
[/mm]
Der Trick ist nun, dass [mm] e^x=e^x+1-1=z-1 [/mm] und [mm] e^x-1=e^x+1-2=z-2 [/mm] ist:
[mm] \integral{\bruch{e^x-1}{e^x+1}dx}=\integral{\bruch{z-2}{z*(z-1)}dz}
[/mm]
[mm] =\integral{\bruch{z-2}{z^2-z}dz}
[/mm]
Darauf kannst du jetzt wieder Partialbruchzerlegung anwenden, danach rücksubstituieren, fertig.
[mm] =\integral{\bruch{2}{z}-\bruch{1}{z-1}dz}
[/mm]
=2*ln(|z|)-ln(|z-1|)
[mm] =2*ln(e^x+1)-ln(e^x)=2*ln(e^x+1)-x[/mm]
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