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Ich habe folgendes Problem. Wie kann ich folgendes Integral mit der Substitutionsmethode lösen?
[mm] \integral_{0}^{\wurzel{75}}\wurzel{100-x^{2}} [/mm] dx
Ich habe in einem alten Skript folgenden Ansatz gefunden: x=10*sin z , allerdings komme ich einfach nicht weiter, weil ich nicht weiß, wie ich da korrekt substituieren soll. Ich weiß, dass die Aufgabe auch über ein Bereichsintegral gelöst werden könnte, allerdings möchte ich gerne das Verfahren mit der Substitutionsmethode nachvollziehen.
Vielen Dank für Anworten!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo ultraviolett,
schreibe das Integral zunächst um:
$\int{\sqrt{100-x^2} \ dx}=\int{\sqrt{100\left(1-\frac{x^2}{100}\right)} \ dx}=10\int{\sqrt{1-\left(\frac{x}{10}\right)^2} \ dx}$
Nun kannst du substituieren: $\sin(u)=\frac{x}{10}$, also $x=10\sin(u)$
Damit dann $\frac{dx}{du}=10\cos(u)$, also $dx=10\cos(u) \ du}$
Damit hast du $10\int{\sqrt{1-\left(\frac{x}{10}\right)^2} \ dx}=10\int{\underbrace{\sqrt{1-\sin^2(u)}}_{=\cos(u)} \ 10\cos(u) \ du}=100\int{\cos^2(u) \ du}$
Das nun mit partieller Integration verarzten.
Dann kannst du am Schluss resubstituieren oder du substituierst für die gesamte Rechnung die Grenzen mit... das kannst du dir aussuchen 
LG
schachuzipus
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