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Integralberechnung: Partielle Integration
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:58 Sa 23.04.2016
Autor: anil_prim

Aufgabe
Berechnen Sie folgendes Integral:

[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^(c*x)*(sin(x)) dx} [/mm]
</task>
Hallo,

durch die partielle Integration habe ich festgelegt:

u'(x) = e^(cx), u(x) = 1/c*(e^(cx)) und v(x)= sinx, v'(x) = -cosx

Es folgt: [1/c*(e^(cx))*sinx] - [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x)*e^(cx) dx} [/mm]

Wie mache ich denn nun weiter? oder macht die partielle Integration bei diesem Beispiel einfach keinen Sinn?

Danke schonmal und viele Grüße

        
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Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Da du ein bestimmtes Integral hast, mußt du die Grenzen im ersten Teil mit den eckigen Klammern einsetzen. Da bleibt dann nicht viel übrig ...
Und dann wiederhole dein Vorgehen mit dem verbleibenden Integral. Dann wird der Sinus den Cosinus wieder ablösen. Wenn also [mm]I[/mm] das gesuchte Integral ist, erhältst du eine Gleichung der Art

[mm]I = a + bI[/mm]

Und diese läßt sich nach [mm]I[/mm] auflösen.

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Integralberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:09 Sa 23.04.2016
Autor: anil_prim

Ich habe das mal probiert, aber habe ein Problem mit dem Faktor 1/c² vor dem Integral...

f' = [mm] e^{cx}, [/mm] g = sinx

[mm] [1/c*e^{cx}*sinx] -\integral_{0}^{\pi}{1/c*e^cx*(-cosx) dx} [/mm]

und dann nochmal das hintere Integral integriert, kann man an dieser Stelle das 1/c vor das Integral ziehen? Also:

[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^{cx}*sinx } [/mm] = [mm] [1/c*e^{cx}*sinx] [/mm] - [mm] 1/c*([1/c*e^{cx}*(-cosx)]-\integral_{0}^{\pi}{1/c*e^{cx}*sinx dx}) [/mm]

Durch den Faktor vor dem Integral kann man das Integral ja nicht mit dem Ausgangsintegral zusammenaddieren und durch 2 teilen, wie das möglich wäre bei [mm] e^{x}, [/mm] oder?

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Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:22 Sa 23.04.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Du kannst den Faktor [mm] \frac{1}{c} [/mm] herausziehen.
Ganz wichtig, danke Leopold: Bestimme besser mit dem unbestimmten Integral eine Stammfunktion, und setze dann final erst die Grenzen ein.

[mm]\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)-\frac{1}{c}\cdot{}\left(\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot{}(-\cos(x))-\integral\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)dx\right) [/mm]
[mm]\Leftrightarrow\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)+\frac{1}{c^{2}}\cdot e^{cx}\cdot{}\cos(x)-\frac{1}{c^{2}}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)dx [/mm]
[mm]\Leftrightarrow\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx+\frac{1}{c^{2}}\cdot\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)+\frac{1}{c^{2}}\cdot e^{cx}\cdot{}\cos(x) [/mm]
[mm]\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{c^{2}}\right)\cdot\integral e^{cx}\cdot\sin(x)dx=\frac{1}{c}\cdot e^{cx}\cdot\sin(x)+\frac{1}{c^{2}}\cdot e^{cx}\cdot{}\cos(x) [/mm]

Nun teile noch passend, dann hast du eine Stammfunktion.

Marius

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Integralberechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 14:33 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Das ist denkunmöglich. Wie kann ein bestimmtes Integral die Variable x enthalten?

Bezug
                                        
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Integralberechnung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 16:11 So 24.04.2016
Autor: M.Rex

Hallo Leopold

> Das ist denkunmöglich. Wie kann ein bestimmtes Integral
> die Variable x enthalten?

Das stimmt, ich ändere meine Antwort nochmal dahingehend.

Marius

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Integralberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:36 Sa 23.04.2016
Autor: anil_prim

Soweit bin ich jetzt auch schon gekommen, danke!

Also teile ich jetzt durch (1+1/c²). Allerdings habe ich jetzt das Problem, dass ich auf der rechten Seite (1+1/c²) nicht ausklammern kann. Da gibt es doch bestimmt wieder irgendeinen Trick? Kannst du mir einen Tipp geben? :)

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Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:41 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Ein bestimmtes Integral kann nicht von x abhängen. Das ist falsch.

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Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Das hast du völlig ignoriert.

Da du ein bestimmtes Integral hast, mußt du die Grenzen im ersten Teil mit den eckigen Klammern einsetzen.

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Integralberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Sa 23.04.2016
Autor: anil_prim

Ich dachte, man könnte erstmal mit eckigen Klammern weiterrechnen und am Schluss dann einsetzen...

[mm] \integral_{0}^{\pi}{e^{cx}*sinx dx} [/mm] = [mm] 1/c*e^{c\pi}*sin\pi [/mm] - [mm] (1/c²*e^{c\pi}*(-cos\pi) [/mm] +1) - 1/c*(integral) So richtig?

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Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:04 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

[mm]I = \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{cx} \cdot \sin x ~ \mathrm{d}x = \underbrace{ \left. \frac{1}{c} \operatorname{e}^{cx} \cdot \sin x \right|_{\, 0}^{\, \pi}}_{= 0} - \frac{1}{c} \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{cx} \cdot \cos x ~ \mathrm{d}x = - \frac{1}{c} \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{cx} \cdot \cos x ~ \mathrm{d}x[/mm]

Und jetzt noch einmal partiell integrieren:

[mm]I = - \frac{1}{c} \cdot \left. \left( \frac{1}{c} \operatorname{e}^{cx} \cdot \cos x \right|_{\, 0}^{\, \pi} + \frac{1}{c} \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{cx} \cdot \sin x ~ \mathrm{d}x \right) = - \frac{1}{c^2} \cdot \left( \operatorname{e}^{c \pi} \cdot (-1) - 1 \right) - \frac{1}{c^2} \cdot I = \frac{1}{c^2} \left( \operatorname{e}^{c \pi} + 1 \right) - \frac{1}{c^2} \cdot I[/mm]

Nach Multiplikation mit [mm]c^2[/mm] wird daraus

[mm]c^2 I = \operatorname{e}^{c \pi} + 1 - I[/mm]

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Bezug
Integralberechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:15 Sa 23.04.2016
Autor: anil_prim

Vielen Dank!

Dann löse ich jetzt einfach nach I auf und erhalte mein Ergebnis, oder?

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Bezug
Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 Sa 23.04.2016
Autor: Leopold_Gast

Ja.

Bei der partiellen Integration kannst du entweder unbestimmt oder bestimmt integrieren. Du kannst aber nicht beides in derselben Umformungskette verquicken.

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Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Mo 25.04.2016
Autor: fred97

Manchmal lohnt sich der Weg übers Komplexe:



$ [mm] \integral_{0}^{\pi}{e^{cx}\cdot{}(sin(x)) dx}=Im(\integral_{0}^{\pi}{e^{(c+i)x} dx}) [/mm] $

FRED



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