www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Integral von 1/z
Integral von 1/z < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral von 1/z: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 So 20.05.2012
Autor: MaxPlanck

Aufgabe
Berechnen sie [mm] \[\int_\gamma \bruch{1}{z}dz\] [/mm] durch explizite Berechnung, wenn [mm] \[\gamma\] [/mm] ein Kreis mit Radius 1 um [mm] \[2+i\] [/mm] ist.

Ich blicke da nicht durch: Wenn ich den Kreis mit [mm] \[(2+i)+e^{it}\] [/mm] parametrisiere und das Integral ausrechne, kommt 0 heraus. Sollte es das? Die Funktion ist in diesem Gebiet analytisch, nach dem Cauchyschen Integralsatz müsste dann 0 tatsächlich stimmen, oder?

        
Bezug
Integral von 1/z: Genau
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 So 20.05.2012
Autor: Infinit

Hallo,
ja, das sieht doch gut aus. Die Gegenkontrolle hast Du ja schon gemacht, das Kreisinnere enthält kein Residuum.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                
Bezug
Integral von 1/z: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:33 So 20.05.2012
Autor: MaxPlanck

Ein Mathestudent hat nämlich gemeint, es wäre ein wichtiges Resultat, dass hier [mm] \[2\pi i\] [/mm] rauskommt. :-)

Bezug
                        
Bezug
Integral von 1/z: Kreis um den Ursprung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 So 20.05.2012
Autor: Infinit

Hallo,
bei einem Kreis um den Ursprung herum würde das stimmen, da dann gerade der Pol der Funktion sich im Kreisinneren befindet. Das Residuum ist der Koeffizient der Reihenentwicklung von 1/z bei [mm] z^{-1} [/mm] und das ist gerade die 1. Dann stimmen die 2 Pi i.
Viele Grüße,
Infinit


Bezug
                
Bezug
Integral von 1/z: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:35 So 20.05.2012
Autor: MaxPlanck

Eine Frage hab ich noch: Darf man die Regel des logarithmischen Integrals, also
[mm] \[\int \bruch{f'}{f}dx=\log{f}\] [/mm]
auch im Komplexen anwenden?

Und noch was: Wie ist das allgemein, wenn ich den Residuensatz noch nicht kenne, mit Funktionen, die in dem Gebiet, wo ich integriere, einen Pol haben, z.B.
[mm] \[\oint_\gamma \bruch{(sin z)^{2}}{2z-\pi}dz\] [/mm]
wenn [mm] \[\gamma\] [/mm] eine Kreis um den Ursprung ist.
Ich habe das so hingebogen, dass es der Cauchyschen Integralformel ähnlich sieht, nämlich mit [mm] \[f(z)=\bruch{1}{2}sin^{2}(z)\] [/mm] und bekomme dann für den Wert des Integrals [mm] \[i\pi\]. [/mm] Stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
Integral von 1/z: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Mo 21.05.2012
Autor: fred97


> Eine Frage hab ich noch: Darf man die Regel des
> logarithmischen Integrals, also
> [mm]\[\int \bruch{f'}{f}dx=\log{f}\][/mm]
>  auch im Komplexen
> anwenden?

Ohne weitere Informationen über f, den Definitionsbereich von f und über den Integrationsweg lässt sich diese Frage nicht beantworten, denn der Log. ist in [mm] \IC [/mm] mehrdeutig.


>  Und noch was: Wie ist das allgemein, wenn ich den
> Residuensatz noch nicht kenne, mit Funktionen, die in dem
> Gebiet, wo ich integriere, einen Pol haben, z.B.
> [mm]\[\oint_\gamma \bruch{(sin z)^{2}}{2z-\pi}dz\][/mm]
>  wenn
> [mm]\[\gamma\][/mm] eine Kreis um den Ursprung ist.
> Ich habe das so hingebogen, dass es der Cauchyschen
> Integralformel ähnlich sieht, nämlich mit
> [mm]\[f(z)=\bruch{1}{2}sin^{2}(z)\][/mm] und bekomme dann für den
> Wert des Integrals [mm]\[i\pi\].[/mm] Stimmt das?

Ja und nein. Gilt für den  Radius r  der Kreislinie [mm] \gamma, [/mm] dass r> [mm] \pi/2 [/mm] ist, so hast Du recht.

Ist aber r< [mm] \pi/2, [/mm] so ist das Integral =0 (warum ?)

FRED


Bezug
        
Bezug
Integral von 1/z: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:58 So 27.05.2012
Autor: MaxPlanck

Cauchyscher Integralsatz, tout simplement.
Danke für deine Hilfe!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]