Integral von 1/z < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Berechnen sie [mm] \[\int_\gamma \bruch{1}{z}dz\] [/mm] durch explizite Berechnung, wenn [mm] \[\gamma\] [/mm] ein Kreis mit Radius 1 um [mm] \[2+i\] [/mm] ist. |
Ich blicke da nicht durch: Wenn ich den Kreis mit [mm] \[(2+i)+e^{it}\] [/mm] parametrisiere und das Integral ausrechne, kommt 0 heraus. Sollte es das? Die Funktion ist in diesem Gebiet analytisch, nach dem Cauchyschen Integralsatz müsste dann 0 tatsächlich stimmen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 So 20.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das sieht doch gut aus. Die Gegenkontrolle hast Du ja schon gemacht, das Kreisinnere enthält kein Residuum.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:33 So 20.05.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Ein Mathestudent hat nämlich gemeint, es wäre ein wichtiges Resultat, dass hier [mm] \[2\pi i\] [/mm] rauskommt. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 So 20.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
bei einem Kreis um den Ursprung herum würde das stimmen, da dann gerade der Pol der Funktion sich im Kreisinneren befindet. Das Residuum ist der Koeffizient der Reihenentwicklung von 1/z bei [mm] z^{-1} [/mm] und das ist gerade die 1. Dann stimmen die 2 Pi i.
Viele Grüße,
Infinit
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Eine Frage hab ich noch: Darf man die Regel des logarithmischen Integrals, also
[mm] \[\int \bruch{f'}{f}dx=\log{f}\]
[/mm]
auch im Komplexen anwenden?
Und noch was: Wie ist das allgemein, wenn ich den Residuensatz noch nicht kenne, mit Funktionen, die in dem Gebiet, wo ich integriere, einen Pol haben, z.B.
[mm] \[\oint_\gamma \bruch{(sin z)^{2}}{2z-\pi}dz\]
[/mm]
wenn [mm] \[\gamma\] [/mm] eine Kreis um den Ursprung ist.
Ich habe das so hingebogen, dass es der Cauchyschen Integralformel ähnlich sieht, nämlich mit [mm] \[f(z)=\bruch{1}{2}sin^{2}(z)\] [/mm] und bekomme dann für den Wert des Integrals [mm] \[i\pi\]. [/mm] Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Mo 21.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Eine Frage hab ich noch: Darf man die Regel des
> logarithmischen Integrals, also
> [mm]\[\int \bruch{f'}{f}dx=\log{f}\][/mm]
> auch im Komplexen
> anwenden?
Ohne weitere Informationen über f, den Definitionsbereich von f und über den Integrationsweg lässt sich diese Frage nicht beantworten, denn der Log. ist in [mm] \IC [/mm] mehrdeutig.
> Und noch was: Wie ist das allgemein, wenn ich den
> Residuensatz noch nicht kenne, mit Funktionen, die in dem
> Gebiet, wo ich integriere, einen Pol haben, z.B.
> [mm]\[\oint_\gamma \bruch{(sin z)^{2}}{2z-\pi}dz\][/mm]
> wenn
> [mm]\[\gamma\][/mm] eine Kreis um den Ursprung ist.
> Ich habe das so hingebogen, dass es der Cauchyschen
> Integralformel ähnlich sieht, nämlich mit
> [mm]\[f(z)=\bruch{1}{2}sin^{2}(z)\][/mm] und bekomme dann für den
> Wert des Integrals [mm]\[i\pi\].[/mm] Stimmt das?
Ja und nein. Gilt für den Radius r der Kreislinie [mm] \gamma, [/mm] dass r> [mm] \pi/2 [/mm] ist, so hast Du recht.
Ist aber r< [mm] \pi/2, [/mm] so ist das Integral =0 (warum ?)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 So 27.05.2012 | | Autor: | MaxPlanck |
Cauchyscher Integralsatz, tout simplement.
Danke für deine Hilfe!
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