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| Aufgabe | Seien [mm]W_t[/mm] und [mm]Z_t[/mm] standard-korrelierte Wiener Prozesse mit sofortiger Korrelation [mm]d[W,Z]t = \rho dt[/mm]
Bestimme Erwartungswert und Varianz des folgenden Ausdrucks:
[mm]\integral_{0}^{t} W_s*Z_s\, ds [/mm] |
Also den Erwartungswert konnte ich nach Anwendung der Cholesky Dekomposition der beiden Wiener Prozesse mit Vertauschen der Reihenfolge von Integration und Erwartungsbildung als [mm]\rho*(t^2)/2[/mm] bestimmen - bei der Varianzbestimmung bzw der Bestimmung des Erwartungswert von [mm](Y_t)^2[/mm] hab ich keine Ahnung wie ich das Quadrat in diese Überlegungen einbeziehen sollte. Hat vielleicht jemand ne Idee oder einen hilfreichen Satz für diesen Fall - über ein Kommentar zum Erwartungswert wäre ich natürlich auch nicht ageneigt ;).
Hab grad gesehen dass ein Teillösungsweg erwünscht ist:
Also für den Erwartungswert:
Seien [mm]N_1[/mm] und [mm]N_2[/mm] unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen dann ist
[mm]W_t=\wurzel{t}*N_1[/mm] und
[mm][mm] Z_t=\wurzel{t}*(\rho*N_1+\wurzel{(1-(\rho)^2)}*N_2)
[/mm]
wobei = hier verteilungsmäßig gleich bedeuten soll
Also ist [mm]E[\integral_{0}^{t}{W_s*Z_s ds}][/mm]
[mm] = E[\integral_{0}^{t}{(\wurzel{t}*N_1)*(\wurzel{t}*(\rho*N_1+\Wurzel{1-(\rho)^2}*N_2)) ds}[/mm]
[mm] = \rho*E[\integral_{0}^{t}{s*(N_1)^2 ds}]+\wurzel{1-(\rho)^2}*E[\integral_{0}^{t}{s*N_2*N_1 ds}][/mm]
[mm] = \rho*\integral_{0}^{t}{E[s*(N_1)^2 ds]} + \integral_{0}^{t}{E[s*N_2*N_1]ds}[/mm]
[mm] = \rho*\integral_{0}^{t}{s*1 ds} + \integral_{0}^{t}{s*0*0ds}[/mm]
[mm] = \rho*\bruch{t^2}{2}[/mm]
So dann hätte ich den Erwartungswert und bräuchte noch die Varianz die ja als [mm]Var[Y_t]=E[(Y_t)^2]-(E[Y_t])^2[/mm] geschrieben werden kann. Für [mm]E[(Y_t)^2] [/mm] wollte ich genau so anfangen aber habe durch das Quadrat über das Integral keine Ahnung wie ich das auseinander zeihen kann - vielleicht Fubini?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 18.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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