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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 So 26.02.2006 | | Autor: | Maiko |
Ich hätte mal eine Frage zur Bestimmung folgenden Integrals. Die Kurve C ist ein geschlossener Halbkreis, was mir ermöglicht, das Integral mit Hilfe des Residuensatzes zu lösen:
[mm] \integral_{C}^{}{\frac{1}{z^4+1}dz}
[/mm]
Es treten nur zwei Singularitäten auf, da die anderen beiden außerhalb der Kurve liegen.
[mm] z_1=\frac{\wurzel(2)}{2}+\frac{\wurzel(2)}{2}*i
[/mm]
[mm] z_2=-\frac{\wurzel(2)}{2}+\frac{\wurzel(2)}{2}*i
[/mm]
Nun zur Berechnungsformel für das erste Residuum:
[mm] Res(f,z_1)=\lim_{z \to z_1}[(z-(\frac{\wurzel{2}}{2}+\frac{\wurzel{2}}{2}*i))*\frac{1}{(z-(\frac{\wurzel{2}}{2}+ \frac{\wurzel{2}}{2}*i))*(z-(-\frac{\wurzel{2}}{2}+\frac{\wurzel{2}}{2}*i))* (z-(\frac{\wurzel{2}}{2}-\frac{\wurzel{2}}{2}*i))*(z-(-\frac{\wurzel{2}}{2}-\frac{\wurzel{2}}{2}*i))}]
[/mm]
Nun kürzt sich hier etwas. Wenn ich allerdings den Grenzwert bilde, dann kommt ein undefinierter Ausdruck raus. Wo ist hier der Fehler? Sehe ihn heut nicht mehr?
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Der einzige Fehler ist wohl, daß du einen Fehler in deiner Rechnung zu erkennen vermeintest. Die scheint aber richtig so. Mit deinen Bezeichnungen folgt:
[mm]\operatorname{Res} \left( f , z_1 \right) = \lim_{z \to z_1} \left( \left( z - z_1 \right) \cdot \frac{1}{\left( z - z_1 \right) \left( z + z_1 \right) \left( z - z_2 \right) \left( z + z_2 \right)} \right) = \frac{1}{2 z_1 \left( z_1 - z_2 \right) \left( z_1 + z_2 \right)} = \frac{1}{2 z_1 \left( z_1^2 - z_2^2 \right)}[/mm]
Und hier wird offensichtlich kein Faktor im Nenner 0, wie man dem vorletzten Ausdruck unmittelbar ansieht.
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