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Integral soll 0 sein: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:41 Do 07.11.2019
Autor: Jellal

Hallo Leute,

ich stehe vor folgender Aufgabe:

Gegeben ist die DGL: x' = [mm] x^{3} [/mm] - x [mm] +\mu [/mm] p(t)
Dabei ist x(t) eine skalare Funktion, [mm] \mu [/mm] ein Modellparameter und p(t) eine 1-periodische Funktion.

Gezeigt werden musste, dass für genügend kleine [mm] \mu [/mm] drei 1-periodische Lösungen [mm] x_{i}, [/mm] i=1,2,3, existieren, und auch ihre Stabilität musste gefunden werden.

Setzt man [mm] \mu [/mm] auf 0, so findet man die "trivialen" 1 periodischen Lösungen als Nullstellen von [mm] x^{3}-x [/mm] und die Stabilität ergibt sich aus der Ableitung des letzteren Terms.
Über die Poincare-Map und den Satz für implizite Funktionen kann man dann zeigen, dass es auch drei Lösungen für [mm] \mu [/mm] nahe 0 gibt.

Der letzte Part der Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass gilt [mm] \integral_{0}^{1}{(x_{i}-x_{j})(x_{1}+x_{2}+x_{3}) dx} [/mm] = 0 mit [mm] x_{i} [/mm] (i=1,2,3) als den drei periodischen Lösungen.


In ähnlichen Fällen habe ich schon mal die Ableitungen addiert oder subtrahiert (mittels der ODE), dann auf beiden Seiten integriert, und da die x periodisch sind, ist das Integral 0. Aber ich finde keine Kombination der ODE für die einzelnen i, sodass sich der geforderte Integrand ergibt.

Jemand eine Idee?

vG.

Jellal

        
Bezug
Integral soll 0 sein: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Sa 09.11.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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