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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Di 17.05.2005 | | Autor: | Ursus |
Hi Leute!
Ich hab mal wieder ein Problem und zwar bei dieser Aufgabe:
Ich soll folgende Funktion nach x integrieren:
[mm] \integral_{ }^{ } \bruch{ \wurzel{1+x+x^2}}{x} [/mm] dx
Ich habs schon mit partieller Integration probiert aber das hat mir auch nicht weitergeholfen. Mit Substitution komme ich auch nicht weiter. Ich glaube, ich müsste irgendwie die Wurzel auf [mm] \wurzel{1+x^2} [/mm] bringen damit ich dann als Stammfunktion den ArcSinh hernehmen kann, oder so ähnlich...
Ich habe dieser Frage auf keinem anderem Forum gestellt.
Besten Dank für eure Hilfe! mfg URSUS
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Hallo Ursus,
> [mm]\integral_{ }^{ } \bruch{ \wurzel{1+x+x^2}}{x}[/mm] dx
Um dieses Integral zu berechnen, bringe zunächst den Ausdruck unter Wurzel auf die Form [mm]\left( {x\; + \;b} \right)^{2} \; + \;c^{2}[/mm]. Dann kannst Du die folgende Substitution anwenden:
[mm]\begin{gathered}
x\; + \;b\; = \;c\;\sinh \;t \hfill \\
dx\; = \;c\;\cosh \;t\;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
welche dann auf einen rationalen Ausdruck der Form [mm]\int {R\left( {\sinh \;t,\;\cosh \;t} \right)} \;dt[/mm] führt. Dieses Integral wiederum läßt sich wiederum durch die Substitution
[mm]\begin{gathered}
u\; = \;\tanh \;\frac{t}
{2} \hfill \\
dt\; = \;\frac{2}
{{1\; - \;u^2 }}\;du \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
auf die Form [mm]\int {R\left( {\frac{{2u}}
{{1\; - \;u^{2} }},\;\frac{{1\; + \;u^{2} }}
{{1\; - \;u^{2} }}} \right)} \;\frac{2}
{{1\; - \;u^{2} }}\;du[/mm] zurückführen.
Nun kann dieses Integral mit Hilfe der Partialbruchzerlegung gelöst werden.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:55 Di 17.05.2005 | | Autor: | Ursus |
Besten Dank für deine Hilfe! Jetzt kenn ich mich aus!
mfg URSUS
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