Integral nach der oberen / unteren Grenze ableiten < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:18 Mo 09.08.2004 | | Autor: | NY152 |
Hallo allerseits,
hab schon lange nach einen Mathe Foren gesucht. Und dank Google habe ich euch gefunden. Der erste Eindruck hat mir so gut gefallen, daß ich mich sofort anmeldet habe.
Und schon habe ich mein erstes Problem. Das u.g. Integral möchte ich nach der Zeit t ableiten. Ich hoffe, daß mir einer oder eine, einen Tipp geben kann.
[mm]d (-{\integral_{\tau}^{t} f_{t} (s)\, ds}) [/mm]
Danke im voraus.
Gruß
Murat
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt
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Gruß!
Das interessante an der Aufgabe ist, dass $f$ selbst von $t$ abhängt. Um die Frage also zu beantworten müßte man wissen, auf welche Weise.
Denn angenommen, $f$ hinge nicht von $t$ ab und $F$ wäre eine Stammfunktion von $f$. Dann folgt aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
[mm] $\frac{d}{dt} \int_\tau^t [/mm] f(s) ds = [mm] \frac{d}{dt}(F(t) [/mm] - [mm] F(\tau)) [/mm] = f(t)$.
Für die Funktion [mm] $f_t$ [/mm] mit Stammfunktion [mm] $F_t$ [/mm] folgt analog:
[mm] $\frac{d}{dt} \int_\tau^t f_t(s) [/mm] ds = [mm] \frac{d}{dt}F_t(t) [/mm] - [mm] \drac{d}{dt}F_t(\tau))$ [/mm] Hier muß man also sehr genau schauen, auf welche Weise das [mm] $f_t$ [/mm] von $t$ abhängt und wie sich das auf die Stammfunktion auswirkt...
Lars
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Mi 11.08.2004 | | Autor: | NY152 |
Hallo Lars,
vielen Dank für deine Antwortmail.
> Denn angenommen, [mm]f[/mm] hinge nicht von [mm]t[/mm] ab und [mm]F[/mm] wäre eine
> Stammfunktion von [mm]f[/mm]. Dann folgt aus dem Hauptsatz der
> Differential- und Integralrechnung:
>
> [mm]\frac{d}{dt} \int_\tau^t f(s) ds = \frac{d}{dt}(F(t) - F(\tau)) = f(t)[/mm].
>
klar. Es gilt ja: F´(t) = f (t)
> Für die Funktion [mm]f_t[/mm] mit Stammfunktion [mm]F_t[/mm] folgt analog:
>
[mm]\frac{d}{dt} \int_\tau^t f_t(s) ds = \frac{d}{dt}F_t(t) - \drac{d}{dt}F_t(\tau))[/mm] (*)
> Hier muß man also sehr genau schauen, auf welche Weise das
> [mm]f_t[/mm] von [mm]t[/mm] abhängt und wie sich das auf die Stammfunktion
> auswirkt...
>
OK. Angenommen $ [mm] F_t [/mm] $ ist eine Stammfunktion von $ [mm] f_t [/mm] $.
Dann gilt: [mm] \frac{d}{dt}F_t(t) [/mm] = $ [mm] f_t [/mm] (t) $ (klar) und dann sollte doch
[mm] \drac{d}{dt}F_t(\tau)) [/mm] = [mm] \integral_{t}^{\tau} d{f_t (s) ds} [/mm] (unklar)
Mir ist die zweite Gleichung immer noch unklar. Es soll folgendes herauskommen:
$ d [mm] (-{\integral_{\tau}^{t} f_{t} (s)\, ds}) [/mm] $ = $ [mm] f_t [/mm] (t) dt $ - [mm] \integral_{t}^{\tau} d{f_t (s) ds} [/mm] (**)
Es geht um ein Zeitstetiges Zinsmodell von HJM, in der man aus den Anleihepreisen die Forwardzinsen berechnen kann.
Ich sehe nicht, daß (*) und (**) gleich sind.
Gruß
Murat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Murat!
Hier benötigst du die ![[]](/images/popup.gif) Regel von Leibniz.
Sie wird in der Finanzmathematik, gerade bei den Zinsmodellen, ständig benötigt, ist aber auch sonst in der Analysis von allergrößter Wichtigkeit. Leider kennen sie i.A. trotzdem nur wenige Studenten.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:02 Mi 11.08.2004 | | Autor: | NY152 |
Hallo Stefan!
Danke für deinen Hinweis. Es hat sehr geholfen den Zusammenhang besser zu verstehen.
Gruß
Murat
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