Integral mit rationaler Fkt. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:49 Do 10.01.2008 | | Autor: | Sonja |
| Aufgabe | Man gebe jeweils die Stammfunktion an
[mm] \int [/mm] 2 [mm] \cdot \frac{y^2 + 3}{y^4 2 \cdot y^2 + 9} [/mm] dy |
Hallo Leute,
ich habe hier ein Integral, das ich nicht lösen kann. Es geht um [mm] \int [/mm] 2 [mm] \cdot \frac{y^2 + 3}{y^4 2 \cdot y^2 + 9} [/mm] dy. Als erstes könnte man ja [mm] t=y^2 [/mm] substituieren und erhielte [mm] \int [/mm] [mm] \frac{t + 3}{t^2 2 t + 9} \cdot \frac{1}{\sqrt{t}} [/mm] dt. Hat jemand eine Idee, was man von da aus machen kann? Ich hatte die Idee, es trigonometrisch zu machen, aber das hat leider auch nicht weitergeholfen.
Viele Grüße, Sonja
P.S. In meiner Vorschau wird der Term unterm Bruch falsch angezeigt, es sollte [mm] y^4 [/mm] 2 [mm] \cdot y^2 [/mm] + 9 sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Sonja,
ich habe eine Methode gefunden, die allerdings mehr als unschön ist...
Es klappt über eine Partialbruchzerlegung, die aber auch nicht sehr schön ist
Zunächst ziehe mal das $-2$ vor das Integral
Denn Nenner kannst du schreiben als $y^4-2y^2+9=(y^2+2\sqrt{2}y+3)\cdot{}(y^2-2\sqrt{2}y+3)$
Dann ergibt sich für die PBZ der Ansatz
$\frac{y^2+3}{y^4-2y^2+9}=\frac{Ay+B}{y^2+2\sqrt{2}y+3}+\frac{Cy+D}{y^2-2\sqrt{2}y+3}$
Das liefert nach wildem Hin- und Hergerechne und Koeffizientenvergleichen:
$A=C=0, B=D=\frac{1}{2}$
Also kannst du $\frac{y^2+3}{y^4+2\sqrt{2}y+3}$ schreiben als $\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{y^2+2\sqrt{2}y+3}+\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{y^2-2\sqrt{2}y+3}$
$=\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{y^2+2\sqrt{2}y+3}+\frac{1}{y^2-2\sqrt{2}y+3}\right)$
Damit ergibt sich für das Integral nun:
$-2\int{\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{1}{y^2+2\sqrt{2}y+3}+\frac{1}{y^2-2\sqrt{2}y+3}\right) \ dy=-\int{\frac{1}{y^2+2\sqrt{2}y+3} \ dy} \ - \int{\frac{1}{y^2-2\sqrt{2}y+3} \ dy}$
$=-\int{\frac{1}{\left(y+\sqrt{2}\right)^2+1} \ dy} \ - \int{\frac{1}{\left(y-\sqrt{2}\right)^2+1} \ dy}$
Nun kannst du endlich substituieren 
$t:=y+\sqrt{2}$ für das erste Integral und $u:=y-\sqrt{2}$
Dann solltest du hinkommen....
Alles in allem ist das aber ein ziemliches Hammerintegral
LG
schachuzipus
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