Integral mit part. Integration < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lou1982 |
| Aufgabe | Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < a < b. Bestimmen Sie folgende Integrale mit partieller Integration.
1.) [mm] \integral_{a}^{b}{ x ln(x) dx} [/mm] |
Hallo Zusammen,
diese Aufgabe ist ja eigentlich nicht schwer aber irgendwie verstehe ich das Thema mit den Integralen noch nicht ganz.
Ich habe für die partielle Integration folgendes gewählt:
f(x)= ln(x)
g'(x) = x
g (x) = [mm] \bruch{1}{2}x^{2}
[/mm]
eingesetzt:
[mm] \integral_{a}^{b}{ln(x) x dx} [/mm] = ln(x) [mm] \bruch{1}{2}x^{2}| [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} \bruch{1}{2}x^{2} dx}
[/mm]
Soweit so gut. Und wie geht es weiter? Muss ich nochmal die partielle Intergation anwenden?
In den Büchern stehen 1000 Beispiele wie man bis hier hin kommt, aber nirgends wird mal ein einfaches Beispeil komplett zu Ende gerechnet.
Im Voraus vielen Dank für die Unterstützung!
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Hallo Lou,
Dein Ansatz ist schonmal richtig. So kann man das Integral lösen.
Du bist nun hier angekommen:
[mm] \integral_{a}^{b}{ln(x) x dx} [/mm] = ln(x) [mm] \bruch{1}{2}x^{2}| [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{x} \bruch{1}{2}x^{2} dx} [/mm]
Dazu zwei Dinge: im Buch würde die Lösung hier abbrechen, weil man annimmt, dass das rechte Integral keine Schwierigkeiten mehr bereitet. Wenn Du die Potenzen von x zusammenfasst, ist der Integrand ja nur noch [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] und einfach zu integrieren:
[mm] \integral{x\ln{x}\ dx} =\bruch{1}{2}x^{2}\ln{x} -\integral{\bruch{1}{2}x\ dx}= \bruch{1}{2}x^{2}\ln{x}-\bruch{1}{4}x^2+C=\bruch{1}{4}x^2(2\ln{x}-1)+C
[/mm]
Nun hast Du aber ein bestimmtes Integral vorliegen. Da entfällt zwar die hier mit angeführte Integrationskonstante, aber Du musst darauf achten, auch in den Zwischenschritten die Integrationsgrenzen mitzuschleppen:
[mm] \integral_{a}^{b}{x\ln{x}\ dx} =\left[\bruch{1}{2}x^{2}\ln{x}\right]^{b}_{a} -\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}x\ dx}
[/mm]
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:20 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lou1982 |
> [mm]\integral{x\ln{x}\ dx} =\bruch{1}{2}x^{2}\ln{x} -\integral{\bruch{1}{2}x\ dx}= \bruch{1}{2}x^{2}\ln{x}-\bruch{1}{4}x^2+C=\bruch{1}{4}x^2(2\ln{x}-1)+C[/mm]
>
> Nun hast Du aber ein bestimmtes Integral vorliegen. Da
> entfällt zwar die hier mit angeführte
> Integrationskonstante, aber Du musst darauf achten, auch in
> den Zwischenschritten die Integrationsgrenzen
> mitzuschleppen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{x\ln{x}\ dx} =\left[\bruch{1}{2}x^{2}\ln{x}\right]^{b}_{a} -\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{2}x\ dx}[/mm]
>
ok die Formel hier verstehe ich. Dann kann ich aber doch noch analog der obigen weitermachen, nur halt ohne die Konstante.
Aber wie komme ich von [mm] {\bruch{1}{2}x\ dx} [/mm] zu [mm] \bruch{1}{4}x^2. [/mm] Sorry habe wahrscheinlich nur Tomaten auf den Augen...
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Hallo Lou!
Hier wurde der Term mittels  Potenzregel integriert:
[mm] $$\integral{\bruch{1}{2}*x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{\red{2}}*x^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*x^{2}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:43 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Lou1982 |
Danke! Auf die Potenzregel hätte ich wirklich kommen müssen. Ich habe die Sachen leider noch nicht so ganz verinnerlicht.
Daher probiere ich mich jetzt noch an Aufgabe 2.)
Wäre klasse wenn nochmal jemand drüber schauen könnte.
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