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| Aufgabe | Berechnen sie mit Hilfe des Taylorpolynoms 6. Gerades folgende bestimmte Integrale:
a) [mm] \integral_{0}^{1}{e^{-x^2} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{e^{x^2}-1}{x^2*e^{x^2}} dx} [/mm] |
Hallo brache nachmal Hilfe zu dieser Aufgabe.
also für die a) habe ich jetzt jeweils die Ableitungen gleich 0 gestezt.
daraus ergibt sich:
f(0)=1
f'(0)=-1
f''(0)=1
....usw.
und dann: [mm] \summe_{6}^{n=0}1*x^0-1*x^1+ 1/2!*x^2....1/6!*x^6
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{\summe_{6}^{n}.... dx}=[\summe_x-\bruch{1}{2!}x^2+\bruch{1}{6}*x^3....\bruch{x^7}{5040}]
[/mm]
=0,63 <-was leider nicht mit der angegebenen Lösung übereinstimmt.
für b) habe ich erstmal f(x) vereinfacht. [mm] \bruch{e^{x^2}-1}{x^2*e^{x^2}}=\bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{x^2*e^{x^2}}
[/mm]
aber wen ich davon jetzt die Ableitungen bilde und x=0 setzte habe ich doch jeden term =0?? komme da nicht weiter
Gruß, Winnifred
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Mi 12.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Winnifred,
> Berechnen sie mit Hilfe des Taylorpolynoms 6. Gerades
> folgende bestimmte Integrale:
>
> a) [mm]\integral_{0}^{1}{e^{-x^2} dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{e^{x^2}-1}{x^2*e^{x^2}} dx}[/mm]
>
> Hallo brache nachmal Hilfe zu dieser Aufgabe.
>
> also für die a) habe ich jetzt jeweils die Ableitungen
> gleich 0 gestezt.
>
> daraus ergibt sich:
>
> f(0)=1
> f'(0)=-1
> f''(0)=1
> ....usw.
Das kann nicht stimmen: der Integrand ist eine gerade Funktion, daher müssen alle ungeraden Ableitungen bei x=0 gleich 0 sein.
Viele Grüße
Rainer
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stimmt habe da mit der Ableitung was total falsch gemacht.....ups
also nach meinen ableitungen ist dann:
f(0)=1
f'(0)=0
f''(0)=-2
f'''(0)=0
f''''(0)=12
[mm] f^5(0)=0
[/mm]
[mm] f^6(0)=-120
[/mm]
also ist:
[mm] \integral_{0}^{1}{1+\bruch{-2}{2!} +\bruch{12}{4!}+\bruch{-120}{6!}dx}=0,334
[/mm]
after edit: mist, habs integrieren vergessen..... ist dann natürlich 0,7428 und stimmt mit der lösung überein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Winnifred!
Du hast bei Deiner Reihendarstellung zunächst die x-Potenzen vergessen und damit auch das Integrieren:
[mm] $$\integral_{0}^{1}{e^{-x^2} \ dx} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \integral_{0}^{1}{1+\bruch{-2}{2!}*\red{x^2} +\bruch{12}{4!}*\red{x^4}+\bruch{-120}{6!}*\red{x^6} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{1}{1-x^2+\bruch{1}{2}*x^4-\bruch{1}{6}*x^6 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ x-\bruch{1}{3}*x^3+... \ \right]_0^1 [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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