Integral mit Cavalieri-Simpson < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Di 15.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben ist folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{4/3}{\bruch{1}{x+1}-x*cos(\pi*x) dx}
[/mm]
zu finden ist die Anzahl der Teilintervalle um I mit einem Fehler kleiner als 10^-2 zu berechnen, dabei soll die Methode der Trapeze verwendet werden |
Hallo alle zusammen
Nun ich habe hier die Aufgabe komplett gelöst vor mir liegen, meine Frage bezieht sich nun auf einen Punkt speziell in der Aufabe, hier der Lösungsweg bis zu meinem Problem:
[mm] f(x)=\bruch{1}{x+1}-x*cos(\pi*x)
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{-1}{(x+1)^{2}}-x*cos(\pi*x)+\pi*x*sin(\pi*x)
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)
[/mm]
Wenn x [mm] \in [/mm] [0,4/3] so:
[mm] |f''(x)|\le2+2*\pi*\pi^{2}*4/3 [/mm]
weiter gehts mit:
[mm] |I-I_T|\le1/12(b-a)*H^{2} [/mm] * [mm] (2+2*\pi*\pi^{2}*4/3 [/mm] )
Mein Problem
Wenn x [mm] \in [/mm] [0,4/3] so:
[mm] |f''(x)|\le2+2*\pi*\pi^{2}*4/3 [/mm]
wie kommt man hier auf besagtes Ergebnis?
Ich habe mir das ganze in alle Richtungen versucht herzuleiten aber irgendwie happerts. Eine ganz unlogische Variante wäre das variieren von "x" in der 2. Ableitung, denn mit:
[mm] f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)
[/mm]
wo ich x zwischen 0 und 4/3 frei wähle komme ich auf das Ergebnis mit:
[mm] f''(x)=\bruch{2}{( 0+1)^{3}}+2*\pi*sin( \pi* [/mm] 0 [mm] )+\pi^{2}* [/mm] 4/3*cos( [mm] \pi* [/mm] 0)
Das ergibt aber keinen Sinn
Hat hier jemand eine Ahnung wie man hier auf das Ergebnis kommt?
Dankeschön
lg
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Hallo Zuggel,
> Gegeben ist folgendes Integral:
>
> [mm]\integral_{0}^{4/3}{\bruch{1}{x+1}-x*cos(\pi*x) dx}[/mm]
>
> zu finden ist die Anzahl der Teilintervalle um I mit einem
> Fehler kleiner als 10^-2 zu berechnen, dabei soll die
> Methode der Trapeze verwendet werden
> Hallo alle zusammen
>
> Nun ich habe hier die Aufgabe komplett gelöst vor mir
> liegen, meine Frage bezieht sich nun auf einen Punkt
> speziell in der Aufabe, hier der Lösungsweg bis zu meinem
> Problem:
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x+1}-x*cos(\pi*x)[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{-1}{(x+1)^{2}}-x*cos(\pi*x)+\pi*x*sin(\pi*x)[/mm]
>
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
>
> Wenn x [mm]\in[/mm] [0,4/3] so:
> [mm]|f''(x)|\le2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm]
>
> weiter gehts mit:
>
> [mm]|I-I_T|\le1/12(b-a)*H^{2}[/mm] * [mm](2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm] )
>
> Mein Problem
>
> Wenn x [mm]\in[/mm] [0,4/3] so:
> [mm]|f''(x)|\le2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm]
>
> wie kommt man hier auf besagtes Ergebnis?
Hier hat man die Dreiecksungleichung mehrfach angewendet:
[mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
[mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)}[/mm]
[mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x*cos(\pi*x)}[/mm]
[mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x}*\vmat{cos(\pi*x)}[/mm]
Und dies jetzt im gegebenen Intervall durch den Maximalbetrag abschätzen.
Setze also für [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] den Maximalbetrag ein.
>
> Ich habe mir das ganze in alle Richtungen versucht
> herzuleiten aber irgendwie happerts. Eine ganz unlogische
> Variante wäre das variieren von "x" in der 2. Ableitung,
> denn mit:
>
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
>
> wo ich x zwischen 0 und 4/3 frei wähle komme ich auf das
> Ergebnis mit:
>
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{( 0+1)^{3}}+2*\pi*sin( \pi*[/mm] 0 [mm])+\pi^{2}*[/mm]
> 4/3*cos( [mm]\pi*[/mm] 0)
>
>
> Das ergibt aber keinen Sinn
>
> Hat hier jemand eine Ahnung wie man hier auf das Ergebnis
> kommt?
>
> Dankeschön
>
>
> lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Di 15.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > Gegeben ist folgendes Integral:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{4/3}{\bruch{1}{x+1}-x*cos(\pi*x) dx}[/mm]
> >
> > zu finden ist die Anzahl der Teilintervalle um I mit einem
> > Fehler kleiner als 10^-2 zu berechnen, dabei soll die
> > Methode der Trapeze verwendet werden
> > Hallo alle zusammen
> >
> > Nun ich habe hier die Aufgabe komplett gelöst vor mir
> > liegen, meine Frage bezieht sich nun auf einen Punkt
> > speziell in der Aufabe, hier der Lösungsweg bis zu meinem
> > Problem:
> >
> > [mm]f(x)=\bruch{1}{x+1}-x*cos(\pi*x)[/mm]
> >
> [mm]f'(x)=\bruch{-1}{(x+1)^{2}}-x*cos(\pi*x)+\pi*x*sin(\pi*x)[/mm]
> >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
> >
> > Wenn x [mm]\in[/mm] [0,4/3] so:
> > [mm]|f''(x)|\le2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm]
> >
> > weiter gehts mit:
> >
> > [mm]|I-I_T|\le1/12(b-a)*H^{2}[/mm] * [mm](2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm] )
> >
> > Mein Problem
> >
> > Wenn x [mm]\in[/mm] [0,4/3] so:
> > [mm]|f''(x)|\le2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm]
> >
> > wie kommt man hier auf besagtes Ergebnis?
>
>
> Hier hat man die Dreiecksungleichung mehrfach angewendet:
>
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
>
> [mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)}[/mm]
>
> [mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x*cos(\pi*x)}[/mm]
>
> [mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x}*\vmat{cos(\pi*x)}[/mm]
>
> Und dies jetzt im gegebenen Intervall durch den
> Maximalbetrag abschätzen.
>
> Setze also für [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] den Maximalbetrag ein.
>
Zunächst Danke für deine Antwort
Also ich verstehe nicht ganz, soll ich für: [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] den Maximalbetrag 4/3 einsetzen? Also sowas:
[mm] \le [/mm] 2* 4/3 [mm] +2*\pi* [/mm] 4/3 [mm] +\pi^{2}* [/mm] 4/3
oder eher sowas:
[mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(4/3+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*4/3)}+\pi^{2}*\vmat{4/3}*\vmat{cos(\pi*4/3)}[/mm]
Noch dazu meine Frage, stehen die [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] Betragsstriche schon dafür da, dass man nur den positiven Betrag betrachten soll, oder muss ich hierbei etwas beachten (anstelle der [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] negative Werte einsetzen)?
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> > Hallo Zuggel,
> >
> > > Gegeben ist folgendes Integral:
> > >
> > > [mm]\integral_{0}^{4/3}{\bruch{1}{x+1}-x*cos(\pi*x) dx}[/mm]
> >
> >
> > > zu finden ist die Anzahl der Teilintervalle um I mit einem
> > > Fehler kleiner als 10^-2 zu berechnen, dabei soll die
> > > Methode der Trapeze verwendet werden
> > > Hallo alle zusammen
> > >
> > > Nun ich habe hier die Aufgabe komplett gelöst vor mir
> > > liegen, meine Frage bezieht sich nun auf einen Punkt
> > > speziell in der Aufabe, hier der Lösungsweg bis zu meinem
> > > Problem:
> > >
> > > [mm]f(x)=\bruch{1}{x+1}-x*cos(\pi*x)[/mm]
> > >
> > [mm]f'(x)=\bruch{-1}{(x+1)^{2}}-x*cos(\pi*x)+\pi*x*sin(\pi*x)[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
> > >
> > > Wenn x [mm]\in[/mm] [0,4/3] so:
> > > [mm]|f''(x)|\le2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm]
> > >
> > > weiter gehts mit:
> > >
> > > [mm]|I-I_T|\le1/12(b-a)*H^{2}[/mm] * [mm](2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm] )
> > >
> > > Mein Problem
> > >
> > > Wenn x [mm]\in[/mm] [0,4/3] so:
> > > [mm]|f''(x)|\le2+2*\pi*\pi^{2}*4/3[/mm]
> > >
> > > wie kommt man hier auf besagtes Ergebnis?
> >
> >
> > Hier hat man die Dreiecksungleichung mehrfach angewendet:
> >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
> >
> > [mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > [mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x*cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > [mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x}*\vmat{cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > Und dies jetzt im gegebenen Intervall durch den
> > Maximalbetrag abschätzen.
> >
> > Setze also für [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] den Maximalbetrag ein.
> >
>
>
> Zunächst Danke für deine Antwort
>
> Also ich verstehe nicht ganz, soll ich für: [mm]\vmat{ \cdots }[/mm]
> den Maximalbetrag 4/3 einsetzen? Also sowas:
Der Maximalbetrag einer Funktion wird nicht automatisch am Intervallende angenommen.
>
> [mm]\le[/mm] 2* 4/3 [mm]+2*\pi*[/mm] 4/3 [mm]+\pi^{2}*[/mm] 4/3
>
>
> oder eher sowas:
>
>
> [mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(4/3+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*4/3)}+\pi^{2}*\vmat{4/3}*\vmat{cos(\pi*4/3)}[/mm]
Es ist für [mm]x \in \left[0, \ \bruch{4}{3}\right][/mm] festzustellen, wo die Funktionen
[mm]\vmat{\bruch{1}{\left(x+1\right)^{3}}[/mm],
[mm]\vmat{\sin\left(\pi*x\right)}[/mm],
[mm]\vmat{x}[/mm],
[mm]\vmat{\cos\left(\pi*x\right)}[/mm]
jeweils ihr Maximum annehmen.
>
> Noch dazu meine Frage, stehen die [mm]\vmat{ \cdots }[/mm]
> Betragsstriche schon dafür da, dass man nur den positiven
> Betrag betrachten soll, oder muss ich hierbei etwas
> beachten (anstelle der [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] negative Werte
> einsetzen)?
Der Betrag ist doch immer positiv.
> lg
> Zuggel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mi 16.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
> > > Hier hat man die Dreiecksungleichung mehrfach angewendet:
> > >
> > >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
> > >
> > > [mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x*cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x}*\vmat{cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Und dies jetzt im gegebenen Intervall durch den
> > > Maximalbetrag abschätzen.
> > >
> > > Setze also für [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] den Maximalbetrag ein.
> > >
> >
> >
> > Zunächst Danke für deine Antwort
> >
> > Also ich verstehe nicht ganz, soll ich für: [mm]\vmat{ \cdots }[/mm]
> > den Maximalbetrag 4/3 einsetzen? Also sowas:
>
>
> Der Maximalbetrag einer Funktion wird nicht automatisch am
> Intervallende angenommen.
>
>
> >
> > [mm]\le[/mm] 2* 4/3 [mm]+2*\pi*[/mm] 4/3 [mm]+\pi^{2}*[/mm] 4/3
> >
> >
> > oder eher sowas:
> >
> >
> > [mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(4/3+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*4/3)}+\pi^{2}*\vmat{4/3}*\vmat{cos(\pi*4/3)}[/mm]
>
>
> Es ist für [mm]x \in \left[0, \ \bruch{4}{3}\right][/mm]
> festzustellen, wo die Funktionen
>
> [mm]\vmat{\bruch{1}{\left(x+1\right)^{3}}[/mm],
>
> [mm]\vmat{\sin\left(\pi*x\right)}[/mm],
>
> [mm]\vmat{x}[/mm],
>
> [mm]\vmat{\cos\left(\pi*x\right)}[/mm]
>
> jeweils ihr Maximum annehmen.
>
Ach du meine Güte, auf sowas wäre ich natürlich nicht gekommen. Danke!
Ich nehme dann an die Funktion die es zu untersuchen gilt ist die Funktion MIT Betragsstrichen und nicht nur die Funktion innerhalb der Betragsstriche, oder? Entschuldige die etwas dummen Fragen, aber meine letzte Mathematik Prüfung liegt 1 Jahr zurück und ich musste mit Grauen feststellen, dass so einiges Wissen verloren gegangen ist in dieser Zeit :(
Ich hoffe ich darf diese Frage stellen obwohl sie aus einer anderen Aufgabe ist: Die Frage dreht sich um die Dreiecksungleichung, und zwar bin ich in einer anderen Rechnung wieder auf den Fall gestoßen, dass solche angewandt wurde:
[mm] (x^2-x)*e^{-x}
[/mm]
meine Überlegung war: ok, das könnte man ausmultiplizieren und folgend vorgehen:
[mm] x^2*e^{-x}-x*e^{-x}
[/mm]
[mm] \le |x^2*e^{-x}-x*e^{-x}|
[/mm]
[mm] \le |x^2*e^{-x}|-|x*e^{-x}|
[/mm]
[mm] \le |x^2|*|e^{-x}|-|x|*|e^{-x}|
[/mm]
Untersuche ich jetzt:
[mm] |x^2|
[/mm]
[mm] |e^{-x}|
[/mm]
|x|
[mm] |e^{-x}|
[/mm]
im gegebenen Intervall [0,1] so finde ich heraus, dass die Funktionen als maximalen Wert immer 1 annehmen und somit ergibt sich für mich: 1*1-1*1=0 - laut Lösung stimmt das aber nicht. Habe ich hier einen Denkfehler bei der Bestimmung der Maximalwerte gemacht oder stimmt hier die Zerlegung durch die Dreiecksungleichung nicht?
Wieso wenden wir eigentlich hier die Dreiecksungleichung an? Gibt es nicht einen einfacheren Weg um auf die Anzahl der Teilintervalle zu kommen?
Dankesehr
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> > > > Hier hat man die Dreiecksungleichung mehrfach angewendet:
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm]f''(x)=\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}+2*\pi*sin(\pi*x)+\pi^{2}*x*cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\le \vmat{\bruch{2}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x*cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(x+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*x)}+\pi^{2}*\vmat{x}*\vmat{cos(\pi*x)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Und dies jetzt im gegebenen Intervall durch den
> > > > Maximalbetrag abschätzen.
> > > >
> > > > Setze also für [mm]\vmat{ \cdots }[/mm] den Maximalbetrag ein.
> > > >
> > >
> > >
> > > Zunächst Danke für deine Antwort
> > >
> > > Also ich verstehe nicht ganz, soll ich für: [mm]\vmat{ \cdots }[/mm]
> > > den Maximalbetrag 4/3 einsetzen? Also sowas:
> >
> >
> > Der Maximalbetrag einer Funktion wird nicht automatisch am
> > Intervallende angenommen.
> >
> >
> > >
> > > [mm]\le[/mm] 2* 4/3 [mm]+2*\pi*[/mm] 4/3 [mm]+\pi^{2}*[/mm] 4/3
> > >
> > >
> > > oder eher sowas:
> > >
> > >
> > > [mm]\le 2*\vmat{\bruch{1}{(4/3+1)^{3}}}+2*\pi*\vmat{sin(\pi*4/3)}+\pi^{2}*\vmat{4/3}*\vmat{cos(\pi*4/3)}[/mm]
>
> >
> >
> > Es ist für [mm]x \in \left[0, \ \bruch{4}{3}\right][/mm]
> > festzustellen, wo die Funktionen
> >
> > [mm]\vmat{\bruch{1}{\left(x+1\right)^{3}}[/mm],
> >
> > [mm]\vmat{\sin\left(\pi*x\right)}[/mm],
> >
> > [mm]\vmat{x}[/mm],
> >
> > [mm]\vmat{\cos\left(\pi*x\right)}[/mm]
> >
> > jeweils ihr Maximum annehmen.
> >
>
>
> Ach du meine Güte, auf sowas wäre ich natürlich nicht
> gekommen. Danke!
>
>
> Ich nehme dann an die Funktion die es zu untersuchen gilt
> ist die Funktion MIT Betragsstrichen und nicht nur die
> Funktion innerhalb der Betragsstriche, oder? Entschuldige
> die etwas dummen Fragen, aber meine letzte Mathematik
> Prüfung liegt 1 Jahr zurück und ich musste mit Grauen
> feststellen, dass so einiges Wissen verloren gegangen ist
> in dieser Zeit :(
>
>
> Ich hoffe ich darf diese Frage stellen obwohl sie aus einer
> anderen Aufgabe ist: Die Frage dreht sich um die
> Dreiecksungleichung, und zwar bin ich in einer anderen
> Rechnung wieder auf den Fall gestoßen, dass solche
> angewandt wurde:
>
> [mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
>
> meine Überlegung war: ok, das könnte man
> ausmultiplizieren und folgend vorgehen:
>
> [mm]x^2*e^{-x}-x*e^{-x}[/mm]
> [mm]\le |x^2*e^{-x}-x*e^{-x}|[/mm]
> [mm]\le |x^2*e^{-x}|-|x*e^{-x}|[/mm]
Hier muß man anderst abschätzen:
[mm]\le \vmat{x^2*e^{-x}-x*e^{-x}} \le \vmat{x^{2}*e^{-x}}+\vmat{x*e^{-x}}[/mm]
[mm] \le \vmat{x^{2}}*\vmat{e^{-x}}+\vmat{x}*\vmat{e^{-x}}[/mm]
>
> [mm]\le |x^2|*|e^{-x}|-|x|*|e^{-x}|[/mm]
>
> Untersuche ich jetzt:
>
> [mm]|x^2|[/mm]
> [mm]|e^{-x}|[/mm]
> |x|
> [mm]|e^{-x}|[/mm]
Ja.
>
> im gegebenen Intervall [0,1] so finde ich heraus, dass die
> Funktionen als maximalen Wert immer 1 annehmen und somit
> ergibt sich für mich: 1*1-1*1=0 - laut Lösung stimmt das
> aber nicht. Habe ich hier einen Denkfehler bei der
> Bestimmung der Maximalwerte gemacht oder stimmt hier die
> Zerlegung durch die Dreiecksungleichung nicht?
>
Da ist ein Denkfehler drin.
Nach der Dreieckunsgleichung gilt für [mm]a,b \in \IR[/mm]:
[mm]\vmat{\vmat{b}-\vmat{a}} \le \vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
Also auch
[mm]\vmat{a+\left(-b\right)} \le \vmat{a}+\vmat{-b}=\vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
> Wieso wenden wir eigentlich hier die Dreiecksungleichung
> an? Gibt es nicht einen einfacheren Weg um auf die Anzahl
> der Teilintervalle zu kommen?
Nun, Du kanst hergehen und das Maximum von [mm]\vmat{f''}[/mm]
via Kurvendiskussion ermitteln.
>
> Dankesehr
> lg
> Zuggel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 17.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
> > Ich hoffe ich darf diese Frage stellen obwohl sie aus einer
> > anderen Aufgabe ist: Die Frage dreht sich um die
> > Dreiecksungleichung, und zwar bin ich in einer anderen
> > Rechnung wieder auf den Fall gestoßen, dass solche
> > angewandt wurde:
> >
> > [mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
> >
> > meine Überlegung war: ok, das könnte man
> > ausmultiplizieren und folgend vorgehen:
> >
> > [mm]x^2*e^{-x}-x*e^{-x}[/mm]
> > [mm]\le |x^2*e^{-x}-x*e^{-x}|[/mm]
> > [mm]\le |x^2*e^{-x}|-|x*e^{-x}|[/mm]
>
>
>
> Hier muß man anderst abschätzen:
>
> [mm]\le \vmat{x^2*e^{-x}-x*e^{-x}} \le \vmat{x^{2}*e^{-x}}+\vmat{x*e^{-x}}[/mm]
>
> [mm]\le \vmat{x^{2}}*\vmat{e^{-x}}+\vmat{x}*\vmat{e^{-x}}[/mm]
>
>
> >
> > [mm]\le |x^2|*|e^{-x}|-|x|*|e^{-x}|[/mm]
> >
> > Untersuche ich jetzt:
> >
> > [mm]|x^2|[/mm]
> > [mm]|e^{-x}|[/mm]
> > |x|
> > [mm]|e^{-x}|[/mm]
>
>
> Ja.
>
>
> >
> > im gegebenen Intervall [0,1] so finde ich heraus, dass die
> > Funktionen als maximalen Wert immer 1 annehmen und somit
> > ergibt sich für mich: 1*1-1*1=0 - laut Lösung stimmt das
> > aber nicht. Habe ich hier einen Denkfehler bei der
> > Bestimmung der Maximalwerte gemacht oder stimmt hier die
> > Zerlegung durch die Dreiecksungleichung nicht?
> >
>
>
> Da ist ein Denkfehler drin.
>
> Nach der Dreieckunsgleichung gilt für [mm]a,b \in \IR[/mm]:
>
> [mm]\vmat{\vmat{b}-\vmat{a}} \le \vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
> Also auch
>
> [mm]\vmat{a+\left(-b\right)} \le \vmat{a}+\vmat{-b}=\vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
Ok das ist verständlich, aber jetzt hier mein Zwispalt:
Weg a) = Unser Weg
[mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
[mm]\le \vmat{x^2*e^{-x}-x*e^{-x}} \le \vmat{x^{2}*e^{-x}}+\vmat{x*e^{-x}}[/mm]
[mm]\le \vmat{x^{2}}*\vmat{e^{-x}}+\vmat{x}*\vmat{e^{-x}}[/mm]
Ich suche nun die Maximalwerte im Bereich [0,1] der Funktionen
[mm] |x^2|
[/mm]
[mm] |e^{-x}|
[/mm]
|x|
[mm] |e^{-x}|
[/mm]
für: [mm] |x^2| [/mm] => in x=1 haben wir Maximalwert 1
für: [mm] |e^{-x}| [/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
für |x| => in x=1 haben wir Maximalwert 1
für: [mm] |e^{-x}| [/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
Setzen wir ein:
1*1 + 1*1 = 2
Weg b) => Weg wie er in der Lösung gerechnet wird
[mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
[mm] \le |x^2-x|*|e^{-x}
[/mm]
es wird untersucht:
[mm] |x^2-x|
[/mm]
[mm] |e^{-x}|
[/mm]
für: [mm] |x^2-x| [/mm] => in x=1/2 haben wir Maximalwert 1/4
für: [mm] |e^{-x}| [/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
Nun zusammengerechnet kommt das Ergebnis 1/4 heraus.
Ich frage mich nun wieso das so ist und welche Lösung jetzt die richtige wäre? Ich für meinen Fall hätte es (mit Ausnahme des Vorzeichenfehlers) wie im Weg a) beschrieben gemacht, aber das hätte wohl zu einem falschen Ergebnis geführt.
Ich versuche selbst zu argumentieren und denke mal es wird hier drin liegen:
[mm]\vmat{\vmat{b}-\vmat{a}} \le \vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
Dadurch dass [mm] \vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b} [/mm] und wir haben hier ja auch stehen 1/4 [mm] \le [/mm] 2 haben wir uns von der 1/4 entfernt, somit wäre die Ungleichung erfüllt. Aber wie weiß ich jetzt, wann Schluss ist mit der Anwendung der Dreiecksungleichung?
Danke vielmals
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> > > Ich hoffe ich darf diese Frage stellen obwohl sie aus einer
> > > anderen Aufgabe ist: Die Frage dreht sich um die
> > > Dreiecksungleichung, und zwar bin ich in einer anderen
> > > Rechnung wieder auf den Fall gestoßen, dass solche
> > > angewandt wurde:
> > >
> > > [mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
> > >
> > > meine Überlegung war: ok, das könnte man
> > > ausmultiplizieren und folgend vorgehen:
> > >
> > > [mm]x^2*e^{-x}-x*e^{-x}[/mm]
> > > [mm]\le |x^2*e^{-x}-x*e^{-x}|[/mm]
> > > [mm]\le |x^2*e^{-x}|-|x*e^{-x}|[/mm]
>
> >
> >
> >
> > Hier muß man anderst abschätzen:
> >
> > [mm]\le \vmat{x^2*e^{-x}-x*e^{-x}} \le \vmat{x^{2}*e^{-x}}+\vmat{x*e^{-x}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\le \vmat{x^{2}}*\vmat{e^{-x}}+\vmat{x}*\vmat{e^{-x}}[/mm]
> >
> >
> > >
> > > [mm]\le |x^2|*|e^{-x}|-|x|*|e^{-x}|[/mm]
> > >
> > > Untersuche ich jetzt:
> > >
> > > [mm]|x^2|[/mm]
> > > [mm]|e^{-x}|[/mm]
> > > |x|
> > > [mm]|e^{-x}|[/mm]
> >
> >
> > Ja.
> >
> >
> > >
> > > im gegebenen Intervall [0,1] so finde ich heraus, dass die
> > > Funktionen als maximalen Wert immer 1 annehmen und somit
> > > ergibt sich für mich: 1*1-1*1=0 - laut Lösung stimmt das
> > > aber nicht. Habe ich hier einen Denkfehler bei der
> > > Bestimmung der Maximalwerte gemacht oder stimmt hier die
> > > Zerlegung durch die Dreiecksungleichung nicht?
> > >
> >
> >
> > Da ist ein Denkfehler drin.
> >
> > Nach der Dreieckunsgleichung gilt für [mm]a,b \in \IR[/mm]:
> >
> > [mm]\vmat{\vmat{b}-\vmat{a}} \le \vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
> >
> > Also auch
> >
> > [mm]\vmat{a+\left(-b\right)} \le \vmat{a}+\vmat{-b}=\vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
>
> Ok das ist verständlich, aber jetzt hier mein Zwispalt:
>
>
> Weg a) = Unser Weg
>
>
> [mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
> [mm]\le \vmat{x^2*e^{-x}-x*e^{-x}} \le \vmat{x^{2}*e^{-x}}+\vmat{x*e^{-x}}[/mm]
>
> [mm]\le \vmat{x^{2}}*\vmat{e^{-x}}+\vmat{x}*\vmat{e^{-x}}[/mm]
>
>
> Ich suche nun die Maximalwerte im Bereich [0,1] der
> Funktionen
> [mm]|x^2|[/mm]
> [mm]|e^{-x}|[/mm]
> |x|
> [mm]|e^{-x}|[/mm]
>
>
> für: [mm]|x^2|[/mm] => in x=1 haben wir Maximalwert 1
>
> für: [mm]|e^{-x}|[/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
>
> für |x| => in x=1 haben wir Maximalwert 1
>
> für: [mm]|e^{-x}|[/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
>
> Setzen wir ein:
>
> 1*1 + 1*1 = 2
>
>
> Weg b) => Weg wie er in der Lösung gerechnet wird
>
>
> [mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
> [mm]\le |x^2-x|*|e^{-x}[/mm]
>
> es wird untersucht:
>
> [mm]|x^2-x|[/mm]
> [mm]|e^{-x}|[/mm]
>
>
> für: [mm]|x^2-x|[/mm] => in x=1/2 haben wir Maximalwert 1/4
> für: [mm]|e^{-x}|[/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
>
>
> Nun zusammengerechnet kommt das Ergebnis 1/4 heraus.
>
> Ich frage mich nun wieso das so ist und welche Lösung
> jetzt die richtige wäre? Ich für meinen Fall hätte es
> (mit Ausnahme des Vorzeichenfehlers) wie im Weg a)
> beschrieben gemacht, aber das hätte wohl zu einem falschen
> Ergebnis geführt.
Nun, der maximale Betrag von
[mm]f\left(x\right)=\left(x^{2}-x\right)*e^{-x}[/mm]
wird bei
[mm]x_{m}=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}[/mm]
erreicht und nimmt dort den Wert
[mm]\vmat{f\left(x_{m}\right)}=0.3090047... \approx 0.309[/mm]
an.
>
> Ich versuche selbst zu argumentieren und denke mal es wird
> hier drin liegen:
>
> [mm]\vmat{\vmat{b}-\vmat{a}} \le \vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
> Dadurch dass [mm]\vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm] und wir haben
> hier ja auch stehen 1/4 [mm]\le[/mm] 2 haben wir uns von der 1/4
> entfernt, somit wäre die Ungleichung erfüllt. Aber wie
> weiß ich jetzt, wann Schluss ist mit der Anwendung der
> Dreiecksungleichung?
>
Das siehst Du dann schon.
>
> Danke vielmals
> lg
> Zuggel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > > > Ich hoffe ich darf diese Frage stellen obwohl sie aus einer
> > > > anderen Aufgabe ist: Die Frage dreht sich um die
> > > > Dreiecksungleichung, und zwar bin ich in einer anderen
> > > > Rechnung wieder auf den Fall gestoßen, dass solche
> > > > angewandt wurde:
> > > >
> > > > [mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
> > > >
> > > > meine Überlegung war: ok, das könnte man
> > > > ausmultiplizieren und folgend vorgehen:
> > > >
> > > > [mm]x^2*e^{-x}-x*e^{-x}[/mm]
> > > > [mm]\le |x^2*e^{-x}-x*e^{-x}|[/mm]
> > > > [mm]\le |x^2*e^{-x}|-|x*e^{-x}|[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > >
> > > Hier muß man anderst abschätzen:
> > >
> > > [mm]\le \vmat{x^2*e^{-x}-x*e^{-x}} \le \vmat{x^{2}*e^{-x}}+\vmat{x*e^{-x}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\le \vmat{x^{2}}*\vmat{e^{-x}}+\vmat{x}*\vmat{e^{-x}}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\le |x^2|*|e^{-x}|-|x|*|e^{-x}|[/mm]
> > > >
> > > > Untersuche ich jetzt:
> > > >
> > > > [mm]|x^2|[/mm]
> > > > [mm]|e^{-x}|[/mm]
> > > > |x|
> > > > [mm]|e^{-x}|[/mm]
> > >
> > >
> > > Ja.
> > >
> > >
> > > >
> > > > im gegebenen Intervall [0,1] so finde ich heraus, dass die
> > > > Funktionen als maximalen Wert immer 1 annehmen und somit
> > > > ergibt sich für mich: 1*1-1*1=0 - laut Lösung stimmt das
> > > > aber nicht. Habe ich hier einen Denkfehler bei der
> > > > Bestimmung der Maximalwerte gemacht oder stimmt hier die
> > > > Zerlegung durch die Dreiecksungleichung nicht?
> > > >
> > >
> > >
> > > Da ist ein Denkfehler drin.
> > >
> > > Nach der Dreieckunsgleichung gilt für [mm]a,b \in \IR[/mm]:
> >
> >
> > > [mm]\vmat{\vmat{b}-\vmat{a}} \le \vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also auch
> > >
> > > [mm]\vmat{a+\left(-b\right)} \le \vmat{a}+\vmat{-b}=\vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
> >
> >
> > Ok das ist verständlich, aber jetzt hier mein Zwispalt:
> >
> >
> > Weg a) = Unser Weg
> >
> >
> > [mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
> > [mm]\le \vmat{x^2*e^{-x}-x*e^{-x}} \le \vmat{x^{2}*e^{-x}}+\vmat{x*e^{-x}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\le \vmat{x^{2}}*\vmat{e^{-x}}+\vmat{x}*\vmat{e^{-x}}[/mm]
> >
> >
> > Ich suche nun die Maximalwerte im Bereich [0,1] der
> > Funktionen
> > [mm]|x^2|[/mm]
> > [mm]|e^{-x}|[/mm]
> > |x|
> > [mm]|e^{-x}|[/mm]
> >
> >
> > für: [mm]|x^2|[/mm] => in x=1 haben wir Maximalwert 1
> >
> > für: [mm]|e^{-x}|[/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
> >
> > für |x| => in x=1 haben wir Maximalwert 1
> >
> > für: [mm]|e^{-x}|[/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
> >
> > Setzen wir ein:
> >
> > 1*1 + 1*1 = 2
> >
> >
> > Weg b) => Weg wie er in der Lösung gerechnet wird
> >
> >
> > [mm](x^2-x)*e^{-x}[/mm]
> > [mm]\le |x^2-x|*|e^{-x}[/mm]
> >
> > es wird untersucht:
> >
> > [mm]|x^2-x|[/mm]
> > [mm]|e^{-x}|[/mm]
> >
> >
> > für: [mm]|x^2-x|[/mm] => in x=1/2 haben wir Maximalwert 1/4
> > für: [mm]|e^{-x}|[/mm] => in x=0 haben wir Maximalwert 1
> >
> >
> > Nun zusammengerechnet kommt das Ergebnis 1/4 heraus.
> >
> > Ich frage mich nun wieso das so ist und welche Lösung
> > jetzt die richtige wäre? Ich für meinen Fall hätte es
> > (mit Ausnahme des Vorzeichenfehlers) wie im Weg a)
> > beschrieben gemacht, aber das hätte wohl zu einem falschen
> > Ergebnis geführt.
>
>
> Nun, der maximale Betrag von
>
> [mm]f\left(x\right)=\left(x^{2}-x\right)*e^{-x}[/mm]
>
> wird bei
>
> [mm]x_{m}=\bruch{3+\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> erreicht und nimmt dort den Wert
>
> [mm]\vmat{f\left(x_{m}\right)}=0.3090047... \approx 0.309[/mm]
>
> an.
>
Ja gut jetzt haben wir gleich 3 Lösungen bzw 3 Maximalwerte, und welcher wird dann verwendet?
>
> >
> > Ich versuche selbst zu argumentieren und denke mal es wird
> > hier drin liegen:
> >
> > [mm]\vmat{\vmat{b}-\vmat{a}} \le \vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm]
>
> >
> > Dadurch dass [mm]\vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm] und wir haben
> > hier ja auch stehen 1/4 [mm]\le[/mm] 2 haben wir uns von der 1/4
> > entfernt, somit wäre die Ungleichung erfüllt. Aber wie
> > weiß ich jetzt, wann Schluss ist mit der Anwendung der
> > Dreiecksungleichung?
> >
>
>
> Das siehst Du dann schon.
>
Und an was sehe ich das?
lg
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> > > Dadurch dass [mm]\vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm] und wir haben
> > > hier ja auch stehen 1/4 [mm]\le[/mm] 2 haben wir uns von der 1/4
> > > entfernt, somit wäre die Ungleichung erfüllt. Aber wie
> > > weiß ich jetzt, wann Schluss ist mit der Anwendung der
> > > Dreiecksungleichung?
> > >
> >
> >
> > Das siehst Du dann schon.
> >
>
>
> Und an was sehe ich das?
Bei diesen Aufgaben hier, siehst Du es, wenn zwischen den Betragsstichen nur noch ein Summand steht.
>
> lg
> Zuggel
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mo 21.09.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo Zuggel,
>
> > > > Dadurch dass [mm]\vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm] und wir haben
> > > > hier ja auch stehen 1/4 [mm]\le[/mm] 2 haben wir uns von der 1/4
> > > > entfernt, somit wäre die Ungleichung erfüllt. Aber wie
> > > > weiß ich jetzt, wann Schluss ist mit der Anwendung der
> > > > Dreiecksungleichung?
> > > >
> > >
> > >
> > > Das siehst Du dann schon.
> > >
> >
> >
> > Und an was sehe ich das?
>
>
>
> Bei diesen Aufgaben hier, siehst Du es, wenn zwischen den
> Betragsstichen nur noch ein Summand steht.
>
>
> >
> > lg
> > Zuggel
>
>
> Gruss
> MathePower
Aber wie du gesehen hast, wurde bei der Lösung die ich gepostet habe nicht soweit gerechnet sondern zwischen den Betrags-Stichen waren auch 2 Summanden und dadurch hatten wir ein anderes Ergebnis.
Welches ist denn dann zu verwenden?
lg und Danke
Zuggel
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Hallo Zuggel,
> > Hallo Zuggel,
> >
> > > > > Dadurch dass [mm]\vmat{a+b} \le \vmat{a}+\vmat{b}[/mm] und wir haben
> > > > > hier ja auch stehen 1/4 [mm]\le[/mm] 2 haben wir uns von der 1/4
> > > > > entfernt, somit wäre die Ungleichung erfüllt. Aber wie
> > > > > weiß ich jetzt, wann Schluss ist mit der Anwendung der
> > > > > Dreiecksungleichung?
> > > > >
> > > >
> > > >
> > > > Das siehst Du dann schon.
> > > >
> > >
> > >
> > > Und an was sehe ich das?
> >
> >
> >
> > Bei diesen Aufgaben hier, siehst Du es, wenn zwischen den
> > Betragsstichen nur noch ein Summand steht.
> >
> >
> > >
> > > lg
> > > Zuggel
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> Aber wie du gesehen hast, wurde bei der Lösung die ich
> gepostet habe nicht soweit gerechnet sondern zwischen den
> Betrags-Stichen waren auch 2 Summanden und dadurch hatten
> wir ein anderes Ergebnis.
> Welches ist denn dann zu verwenden?
Das kommt immer auf die Aufgabenstellung an.
Zum Beispiel kannst Du [mm]f\left(x\right)=\left(x^{2}-x\right)*e^{-x}[/mm]
auch so abschätzen:
[mm] \left(x^{2}-x\right)*e^{-x}=\left( \ \left(x-\bruch{1}{2}\right)^{2}- \bruch{1}{4} \ \right)*e^{-x} \le \vmat{\left(x-\bruch{1}{2}\right)^{2}- \bruch{1}{4}}*\vmat{e^{-x}}[/mm]
[mm]\le \left( \ \vmat{\left(x-\bruch{1}{2}\right)^{2}}+\vmat{\bruch{1}{4}}} \ \right)*\vmat{e^{-x}} \le \left(\bruch{1}{4}+\bruch{1}{4}\right)*1 = \bruch{1}{2}[/mm]
>
> lg und Danke
> Zuggel
>
Gruss
MathePower
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