Integral lösen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 09.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo, im Rahmen einer Partialbruchzerlegung habe ich folgendes Teilintegral bekommen:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{13x+2}{x^{2}+4x+5}dx}, [/mm] also ein Partialbruch mit Zähler vom Typ Bx + C |
1. Frage: Kann ich (ist es ratsam) das Integral in 2 Integrale zu splitten, um sie bequemer berechnen zu können? Also folgendermaßen:
= [mm] \integral_{}^{}{\bruch{13x}{x^{2}+4x+5}dx} [/mm] + [mm] \integral_{}^{}{\bruch{2}{x^{2}+4x+5}dx}
[/mm]
2. Frage: Wenn ich diesen Ansatz wähle, wie kann ich denn dann
das Integral [mm] \integral_{}^{}{\bruch{13x}{x^{2}+4x+5}dx} [/mm] lösen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Di 09.01.2007 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Ich habe einer weitere Frage bezüglich des Lösens eines Integrals...
Ich habe folgendes Integral in allgemeiner Form und die Lösung vogegeben. Allerdings erkenne ich den Lösungsweg nicht so recht. |
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{a^{2}+x^{2}} dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a}*arctan(\bruch{x}{a})+c [/mm] ; a [mm] \in \IR \not=0
[/mm]
Was mir daran klar ist: Die Ableitung des arctan(x)= [mm] \bruch{1}{1+x^{2}}. [/mm] Ich denke, dass nutzt man irgendwie aus, aber wie?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo RalU!
Dein "Verdacht" ist völlig richtig, dass man [mm] $\left[ \ \arctan(z) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+z^2}$ [/mm] nutzt.
Man formt zunächst um: [mm] $\bruch{1}{a^2+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^2*\left(1+\bruch{x^2}{a^2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^2}*\bruch{1}{1+\left(\bruch{x}{a}\right)^2}$
[/mm]
Und nun $z \ := \ [mm] \bruch{x}{a}$ [/mm] substituieren und anschließend die o.g. Beziehung verwenden.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
Die Aufspaltung ist nicht zweckmäßig. Besser ist es, so zu zerlegen, daß die Ableitung [mm]2x + 4[/mm] des Nenners im Zähler vorkommt. Hier wäre das
[mm]\frac{13x + 2}{x^2 + 4x + 5} = \frac{\frac{13}{2} (2x + 4) - 24}{x^2 + 4x + 5} = \frac{13}{2} \cdot \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5} - 24 \cdot \frac{1}{(x+2)^2 + 1}[/mm]
Das Integral wird in die zwei Summanden aufgespalten, die konstanten Faktoren [mm]\frac{13}{2}[/mm] und [mm]24[/mm] können vor das Integral gezogen werden. Beim ersten Integral substitutiert man den Nenner [mm]t = x^2 + 4x + 5[/mm], beim zweiten [mm]s = x+2[/mm].
|
|
|
|
