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Integral lösen: einfach?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Fr 08.09.2006
Autor: Herby

Hi,

ich hab’ da noch ein schnuckeliges Integral zu lösen.


[mm] \integral{x*\wurzel{1+9x^4}dx}=..... [/mm]


heraus kommt [mm] \bruch{x²}{4}*\wurzel{1+9x^4}+\bruch{1}{12}*arsinh(3x²)+C [/mm]

oder auch [mm] \bruch{x²}{4}*\wurzel{1+9x^4}+\bruch{1}{12}*ln(3x²+\wurzel{1+9x^4})+C [/mm]


aber den Weg dorthin finde ich nicht – wer Lust hat kann sich ja mal daran versuchen.


was ich versucht hatte, war mit:  [mm] \integral{\bruch{1}{\wurzel{1+x²}}dx}=arsinh(x) [/mm] und der Substitution x=a*sinh(u) woraus dx=a*cosh(u)du folgt.


[keineahnung]



ich geb’s auf.......

....... schönes Wochenende und


Liebe Grüße

Herby
        
Bezug
Integral lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Fr 08.09.2006
Autor: EvenSteven


> Hi,
>  

Hoi

> ich hab’ da noch ein schnuckeliges Integral zu lösen.
> [mm]\integral{x*\wurzel{1+9x^4}dx}=.....[/mm]
>  

So spontan würde ich da mal zuerst partiell integrieren, dabei natürlich den Faktor x integrieren. Den ersten Summanden hast du dann schon fast. Für das verbleibende Integral scheint (sofern die Lösung richtig ist) die Substiturion [mm]u = 3*x^{2}[/mm] von nutzen zu sein.
>  
>
> aber den Weg dorthin finde ich nicht – wer Lust hat kann
> sich ja mal daran versuchen.
>  
>
> was ich versucht hatte, war mit:  
> [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{1+x²}}dx}=arsinh(x)[/mm] und der
> Substitution x=a*sinh(u) woraus dx=a*cosh(u)du folgt.
>  

Wieso *a ? Nur x=sinh(u)
>
> [keineahnung]
>  
>
>
> ich geb’s auf.......

Niemals!

>  
> ....... schönes Wochenende und
>  
>
> Liebe Grüße
>  
> Herby

Ciao

EvenSteven
Bezug
                
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Integral lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Sa 09.09.2006
Autor: Herby

Hi,

> > Hi,
>  >  
>
> Hoi
>  
> > ich hab’ da noch ein schnuckeliges Integral zu lösen.
>  > [mm]\integral{x*\wurzel{1+9x^4}dx}=.....[/mm]

>  >  
>
> So spontan würde ich da mal zuerst partiell integrieren,
> dabei natürlich den Faktor x integrieren. Den ersten
> Summanden hast du dann schon fast. Für das verbleibende
> Integral scheint (sofern die Lösung richtig ist) die
> Substiturion [mm]u = 3*x^{2}[/mm] von nutzen zu sein.

hab ich schon probiert - musste ja auch der erste Gedanke sein, allerdings erhalte ich dann kein [mm] \bruch{1}{4} [/mm] im ersten Summanden. [grummel]

> > aber den Weg dorthin finde ich nicht – wer Lust hat kann
> > sich ja mal daran versuchen.
>  >  
> >
> > was ich versucht hatte, war mit:  
> > [mm]\integral{\bruch{1}{\wurzel{1+x²}}dx}=arsinh(x)[/mm] und der
> > Substitution x=a*sinh(u) woraus dx=a*cosh(u)du folgt.
>  >  
> Wieso *a ? Nur x=sinh(u)

damit war nur die ganz allgemeine Umformung gemeint, ich habe ja noch einen Faktor 9 vor dem x² :-)


>  >

> > [keineahnung]
>  >  
> >
> >
> > ich geb’s auf.......
>  
> Niemals!
>  

doch!


lg
Herby
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Bezug
Integral lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Sa 09.09.2006
Autor: riwe

hallo herby,
aufgeben tut man einen brief, sonst nichts und niemals.
1) setze [mm] 3x^{2}=u [/mm]
2) setze nun u = sinh t
das gibt I = [mm] \frac{1}{6}\integral_{}^{}{cosh^{2}t dt} [/mm]
3)und nun das übliche: 2malige partielle integration noch cosh t und du bist am ziel

Bezug
                
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Integral lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:13 Sa 09.09.2006
Autor: Herby

Moin Moin


> hallo herby,
>  aufgeben tut man einen brief, sonst nichts und niemals.

dooooooch [grins] - Mist, ich wollte einfach nur mal nicht integrieren..........



>  1) setze [mm]3x^{2}=u[/mm]

machte ich bereits



>  2) setze nun u = sinh t

machte ich auch bereits



>  das gibt I = [mm]\frac{1}{6}\integral_{}^{}{cosh^{2}t dt}[/mm]

ups, wo kommt denn das 1/6 her ---



> 3)und nun das übliche: 2malige partielle integration noch
> cosh t und du bist am ziel

na, da schau ich nochmal [pfeif]




Danke schön und
netten Abend noch


Liebe Grüße
Herby

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Integral lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Sa 09.09.2006
Autor: riwe

[mm]3x^{2}=u\rightarrow 3\cdot 2x\cdot dx = du \rightarrow x\cdot dx = \frac{1}{6}du[/mm]
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Integral lösen: nochmal...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:53 Mo 11.09.2006
Autor: Herby

Hallo,

ich hatte mir das nochmal angeschaut und ein bisschen rumgedoktert, aber so ganz erfolgreich war das nicht [kopfschuettel]

Wenn ich erst 3x²=u setze und dann u=sinh(t), dann ergibt sich ja für das x vor der Wurzel [mm] x=\wurzel{1/3*sinh(t)} [/mm]

Was mach ich denn damit [verwirrt]


Liebe Grüße
Herby
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Bezug
Integral lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:53 Mo 11.09.2006
Autor: EvenSteven


> Hallo,
>  
> ich hatte mir das nochmal angeschaut und ein bisschen
> rumgedoktert, aber so ganz erfolgreich war das nicht
> [kopfschuettel]
>  
> Wenn ich erst 3x²=u setze und dann u=sinh(t), dann ergibt
> sich ja für das x vor der Wurzel [mm]x=\wurzel{1/3*sinh(t)}[/mm]
>  
> Was mach ich denn damit [verwirrt]
>  
>
> Liebe Grüße
>  Herby

Du machst erst die Substitution 3x²=u und formst dann dieses Integral etwas um, du wirst etwas ein Integral mit [mm] $\wurzel{1+u^2}$ [/mm] kriegen und erst jetzt die nächste Substitution verwenden.
...
[mm] $1+(\sinh x)^2=(\cosh x)^2$ [/mm]
...

Gruss

EvenSteven
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Integral lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:06 Mo 11.09.2006
Autor: Herby

hi,

genau da liegt mein Problem - das umformen, was zieh ich denn dann in die Wurzel rein oder raus?

Die Identität von (cosh(t))² ist klar


lg
Herby
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Bezug
Integral lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Mo 11.09.2006
Autor: riwe

[mm] I=\integral_{}^{}{ x\sqrt{1+9x^{4}}dx} [/mm]
[mm]3x^{2}=u\rightarrow 6x\cdot dx=du \rightarrow x\cdot dx=\frac{1}{6}du[/mm]
[mm] 6I=\integral_{}^{}{\sqrt{1+u^{2}} du} [/mm]
u=sinh [mm] t\rightarrow [/mm] du = cosh [mm] t\cdot [/mm] dt
[mm] 6I=\integral_{}^{}{ cosht\cdot cosht\cdot dt} [/mm]
partielle integration
[mm] 6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{sinh^{2}t \cdot dt} [/mm]
[mm] 6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{(cosh^{2}t-1) dt} [/mm]
[mm] 6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{cosh^{2}t \cdot dt}+t [/mm]
[mm]12I=sinht\cdot cosht+t[/mm]
und jetzt alle substitutionen zurück



Bezug
                                                
Bezug
Integral lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:32 Mo 11.09.2006
Autor: Herby

Hallo riwe,

> [mm]I=\integral_{}^{}{ x\sqrt{1+9x^{4}}dx}[/mm]
>  [mm][mm]3x^{2}=u\rightarrow 6x\cdot[/mm]dx=du[mm]\rightarrow x\cdot dx=\frac{1}{6}du[/mm]

[bonk]

[mm]6I=\integral_{}^{}{\sqrt{1+u^{2}} du}[/mm]
u=sinh [mm]t\rightarrow[/mm] du = cosh [mm]t\cdot[/mm] dt
[mm]6I=\integral_{}^{}{ cosht\cdot cosht\cdotdt}[/mm]
partielle integration
[mm]6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{sinh^{2}t dt}[/mm]
[mm]6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{(cosh^{2}t-1) dt}[/mm]
[mm]6I=sinht\cdot cosht-\integral_{}^{}{cosh^{2}t dt}+t[/mm]
[mm]12I=sinht\cdot cosht+t[/mm]
und jetzt alle substitutionen zurück


das lasse ich mir jetz mal richtig so zu Kopf steigen.


danke schön ---- natürlich auch an "EvenSteven"

für die Ausdauer mit mir ;-)



manchmal...............



Liebe Grüße
Herby

Bezug
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