Integral epsilon-delta < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] (X,\mathcal{A},m) [/mm] ein Maßraum und f eine integrierbare Funktion von X -> [mm] \IR. [/mm] Beweisen Sie: Es gibt zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0, so dass:
Wenn m(A) < [mm] \delta, [/mm] dann [mm] \integral_{A}^{}{|f| dm} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle A in [mm] \mathcal{A}. [/mm] |
Hallo an alle,
der Beweis fällt mir nicht so leicht, deshalb habe ich erstmal versucht das für beschränkte f zu zeigen. Also folgendes habe ich mir überlegt:
Wenn f beschränkt ist, dann gibt es ein L in [mm] \IR [/mm] mit f(x) [mm] \le [/mm] L für alle x in A, insbesondere ist |f| [mm] \le [/mm] |L|. Nimmt man L jetzt als eine konstante Funktion an, dann ist |L| integrierbar und es gilt: [mm] \integral_{A}^{}{|f| dm} \le \integral_{A}^{}{|L| dm}. [/mm] Es folgt dann für [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{|L|}:
[/mm]
Wenn m(A)< [mm] \vardelta, [/mm] dann ist [mm] \integral_{A}^{}{|f| dm} \le \integral_{A}^{}{|L| dm} [/mm] = |L|*m(A) < [mm] |L|*\bruch{\varepsilon}{|L|} [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ist das richtig? Wenn ja, dann komme ich zur Zeit nicht darauf wie ich es auf ein unbeschränktes f ausdehnen kann. Habt ihr da vielleicht einen Tip?
Danke, Steffen
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> Sei [mm](X,\mathcal{A},m)[/mm] ein Maßraum und f eine integrierbare
> Funktion von X -> [mm]\IR.[/mm] Beweisen Sie: Es gibt zu jedem
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0, so dass:
>
> Wenn m(A) < [mm]\delta,[/mm] dann [mm]\integral_{A}^{}{|f| dm}[/mm] <
> [mm]\varepsilon[/mm] für alle A in [mm]\mathcal{A}.[/mm]
> Hallo an alle,
> der Beweis fällt mir nicht so leicht, deshalb habe ich
> erstmal versucht das für beschränkte f zu zeigen. Also
> folgendes habe ich mir überlegt:
>
> Wenn f beschränkt ist, dann gibt es ein L in [mm]\IR[/mm] mit f(x)
> [mm]\le[/mm] L für alle x in A, insbesondere ist |f| [mm]\le[/mm] |L|. Nimmt
> man L jetzt als eine konstante Funktion an, dann ist |L|
> integrierbar und es gilt: [mm]\integral_{A}^{}{|f| dm} \le \integral_{A}^{}{|L| dm}.[/mm]
> Es folgt dann für [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon}{|L|}:[/mm]
>
> Wenn m(A)< [mm]\vardelta,[/mm] dann ist [mm]\integral_{A}^{}{|f| dm} \le \integral_{A}^{}{|L| dm}[/mm]
> = |L|*m(A) < [mm]|L|*\bruch{\varepsilon}{|L|}[/mm] = [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Ist das richtig? Wenn ja, dann komme ich zur Zeit nicht
> darauf wie ich es auf ein unbeschränktes f ausdehnen kann.
Über diese Aufgabe haben wir hier vor kurzen auch schon diskutiert: siehe https://www.vorhilfe.de/read?i=329922. Vielleicht solltest Du mit dem Autor dieser Frage, o.tacke, eine Übungsgruppe gründen - möglicherweise bearbeitet ihr ja denselben Kurs / dieselbe Vorlesung.
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Hallo Somebody,
das hatte ich schon gesehen. Bei meiner Aufgabe steht in der Aufgabenstellung aber mit drin, dass wir über die Beschränktheit von f gehen sollen.
Deshalb mein erneuter thread.
Vielleicht kannst du mir ja auch hier helfen?
Grüße, Steffen
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> Hallo Somebody,
> das hatte ich schon gesehen. Bei meiner Aufgabe steht in
> der Aufgabenstellung aber mit drin, dass wir über die
> Beschränktheit von f gehen sollen.
> Deshalb mein erneuter thread.
> Vielleicht kannst du mir ja auch hier helfen?
Sei $L>0$ eine willkürlich gewählte Schranke. Dann ist
[mm]\int_A |f|\;d\mu=\int_A \min(|f|,L)\;d\mu+\int_{A\cap \{|f|>L\}}|f|\; d\mu[/mm]
Auf die Funktion [mm] $\min(|f|,L)$ [/mm] ist Dein Argument für den Fall einer beschränkten Funktion natürlich anwendbar. Nun benötigt man also ein gutes Argument dafür, dass das zweite, zusätzlich auf [mm] $\{|f|>L\}$ [/mm] eingeschränkte Integral für [mm] $\mu(A)\rightarrow [/mm] 0$ ebenfalls gegen $0$ geht.
Was sicher gilt ist, dass [mm] $\lim_{L\rightarrow \infty}\int_{A\cap \{|f|>L\}}|f|\; d\mu=0$ [/mm] ist, denn $|f|$ ist ja (wegen seiner Integrierbarkeit) fast überall [mm] $<\infty$, [/mm] woraus [mm] $\lim_{L\rightarrow \infty} 1_{A\cap \{|f|>L\}}\cdot [/mm] |f|=0$ (fast überall) und daher, mit dem Satz über die majorisierte Konvergenz, auch [mm] $\lim_{L\rightarrow \infty}\int 1_{A\cap \{|f|>L\}}\cdot |f|\;d\mu=0$ [/mm] folgt.
Nachtrag (Revision 1): Du wirst vermutlich für vorgegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] erst einmal $L>0$ so gross wählen müssen, dass dank der Abschätzung
[mm]\int_{A\cap \{|f|>L\}}|f|\; d\mu\leq \int_{\{|f|>L\}}|f|\; d\mu[/mm]
das zweite Integral in der obigen Zerlegung von [mm] $\int_A|f|\; d\mu$ [/mm] sicher kleiner als [mm] $\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] wird. Danach kannst Du auf das Integral der durch $L$ beschränkten Funktion [mm] $\min(|f|,L)$ [/mm] Deine bisherige Überlegung anwenden, um auch dieses Teilintegral kleiner als [mm] $\frac{\varepsilon}{2}$ [/mm] zu machen.
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