Integral einer rat. Funktion < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Di 22.08.2006 | | Autor: | IceCube |
Hallo, ich versuche scon ne Weile die auf den ersten Blick recht einfache Funktion
[mm]- \bruch {x^2-y^2 }{(x^2+y^2)^2} [/mm] zu integrieren.
mein Ansatz war Partialbruchzerlegung
... dann komme ich auf Integrale mit arctan.
Substitution habe ich auch schon versucht
Kann mir jemand sagen, wie ich das Integral einfach ausrechnen kann?
(Integration über x).
Vielen Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Di 22.08.2006 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
die Lösung Deines Integrals ist:
[mm] $\bruch{x}{x^2+y^2}$
[/mm]
Allerdings kann ich Dir jetzt nicht genau sagen, wie man darauf kommt. Ich vermute allerding, dass man mit der "Substitutionsregel" zum gewünschten Ergebnis kommt.
Zudem bezweifel ich, dass man hier die Partialbruchzerlegung anwenden kann, da sich der Nenner nur in
[mm] $(x^2+y^2)*(x^2+y^2)$
[/mm]
zerlegen lässt. Um die Partialbruchzerlegung anwenden zu dürfen, benötigt man jedoch zwei verschiedene Faktoren.
Hoffe, dass ich Dir zumindest ein bisschen weiterhelfen konnte. Habe die Frage noch offen gelassen.
Ciao Denny
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Hallo Icecube,
ich würde zur systematischen lösung des integrals folgendermaßen vorgehen (ich setze mal [mm] $k:=y^2$, [/mm] das Minuszeichen lasse ich weg):
[mm] $\int\frac{x^2-k}{(x^2+k)^2}dx=\int\frac{x^2+k}{(x^2+k)^2}dx- \int\frac{2k}{(x^2+k)^2}dx$
[/mm]
[mm] $=\int\frac{dx}{x^2+k}- \int\frac{2k}{(x^2+k)^2}dx$
[/mm]
das erste integral kannst du jetzt mit dem arcus-tangens in den griff kriegen, für das zweite brauchst du wahrscheinlich eine rekursionsformel für die integrale der art:
[mm] $\int\frac{dx}{(x^2+k)^n}$ [/mm] (sowas wie ![[]](/images/popup.gif) hier ganz unten!)
Das geht recht easy mit partieller integration.
Vielleicht geht das ganze auch mit einem Trick noch leichter, das sehe ich aber im moment nicht...
Gruß
Matthias
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