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Integral cos^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:44 Di 26.01.2016
Autor: Tabeah

Aufgabe
[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x)^{2} dx} [/mm]

Berechne das Integral.

Hallo,

also ich komme ab einen bestimmten Punkt nicht weiter:

[mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x)^{2} dx}=\integral_{0}^{\pi}{cos(x)*cos(x) dx} [/mm] ... dann gehts weiter mit der partiellen Integration:

[mm] \integral_{a}^{b}{u*v'dx}=[u*v]_{a}^{b}-\integral_{a}^{b}{u'*v dx} \Rightarrow [/mm]

u=cos(x) u'=-sin v'=cos(x) v=sin(x)
[mm] [cos(x)*sin(x)]_{0}^{\pi}+\integral_{0}^{\pi}{sin(x)*sin(x) dx} [/mm]
soweit ist es Korrekt aber dann würde ich weiterrechnen:

u=sin(x) u'=cos(x) v'=sin(x) v=-cos(x)
[mm] [cos(x)*sin(x)]_{0}^{\pi}-[sin(x)*cos(x)]_{0}^{\pi}+\integral_{0}^{\pi}{cos(x)*cos(x) dx} [/mm]

wenn ich nun [mm] \integral_{0}^{\pi}{cos(x)*cos(x) dx} [/mm] von beiden seiten abziehe dann steht da ja

[mm] 0=[cos(x)*sin(x)]_{0}^{\pi}-[sin(x)*cos(x)]_{0}^{\pi} [/mm] und somit 0=0 ... was ja irgendwie stimmt aber kein Ergebnis für ein Integral ist -.- ...

Ich habe öffters solche Probleme in der Musterlösung steht
[mm] [cos(x)*sin(x)]_{0}^{\pi}+\integral_{0}^{\pi}{sin(x)*sin(x) dx}=0+\integral_{0}^{\pi}{1-cos(x)^2 dx}=\bruch{\pi}{2} [/mm] ... Aber das verstehe ich nicht wieso ist [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x)*sin(x) dx}=\integral_{0}^{\pi}{1-cos(x)^2 dx} [/mm] ???


        
Bezug
Integral cos^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 Di 26.01.2016
Autor: fred97

[mm] cos^2(x)+sin^2(x)=1. [/mm]

FRED

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Bezug
Integral cos^2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Di 26.01.2016
Autor: Tabeah

Öhm mag sein aber das steht da doch nirgendwo oder irre ich ? Da steht am Anfang wie am ende das Integral von [mm] cos^{2}(x) [/mm] von null bis pi und in der Mitte irgendwo das Integral von [mm] sin^{2}(x). [/mm] Ich sehe irgendwie noch nicht wie sie verbunden sein sollen.

Bezug
                        
Bezug
Integral cos^2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Di 26.01.2016
Autor: Chris84


> Öhm mag sein aber das steht da doch nirgendwo oder irre
> ich ? Da steht am Anfang wie am ende das Integral von

Aehm doch....

[mm] $sin(x)\cdot [/mm] sin(x) = [mm] sin^2(x)$ [/mm]

und das ist mit Freds Hinweis gerade [mm] $=1-cos^2(x)$ [/mm]

> [mm]cos^{2}(x)[/mm] von null bis pi und in der Mitte irgendwo das
> Integral von [mm]sin^{2}(x).[/mm] Ich sehe irgendwie noch nicht wie
> sie verbunden sein sollen.



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