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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integral berechnen
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Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 So 20.05.2012
Autor: Der-Madde-Freund

Hallo, ich berechne gerade geometrische Schwerpunkte aus und muss dafür ja Doppelintegrale lösen. Ich bin bisher ganz gut damit klar gekommen, nur im Moment ergibt sich ein Integral, wo ich nicht weiss, wie ich das lösen muss:

[mm] \integral_{-3}^{3}{\sqrt{10-x^2} dx} [/mm]

Es sollte wohl etwas mit arcsin(x) herauskommen, finde aber gerade keinen Weg, das hier zu nutzen...

        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 So 20.05.2012
Autor: abakus


> Hallo, ich berechne gerade geometrische Schwerpunkte aus
> und muss dafür ja Doppelintegrale lösen. Ich bin bisher
> ganz gut damit klar gekommen, nur im Moment ergibt sich ein
> Integral, wo ich nicht weiss, wie ich das lösen muss:
>  
> [mm]\integral_{-3}^{3}{\sqrt{10-x^2} dx}[/mm]
>  
> Es sollte wohl etwas mit arcsin(x) herauskommen, finde aber
> gerade keinen Weg, das hier zu nutzen...

Hallo,
klammere [mm] $\sqrt{10}$ [/mm] aus und substituiere [mm] z=$\frac{x}{\sqrt{10}}$. [/mm]
Gruß Abakus


Bezug
                
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Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 So 20.05.2012
Autor: Der-Madde-Freund

Ok, habe es verstanden, wenn ich [mm] \sqrt{10-x^2} [/mm] = [mm] \sqrt{10}*\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{10}})^2} [/mm] schreibe, dann kann ich die Konstante [mm] \sqrt{10} [/mm] ja vors Integral ziehen und muss dann allerdings wieder substituieren.

Laut Formelsammlung gilt ja:

[mm] \integral{\sqrt{a^2-x^2} dx}=\frac{1}{2}(x*\sqrt{a^2-x^2}+a^2*arcsin(\frac{x}{a})) [/mm] und bei uns ist ja [mm] a=\sqrt{10} [/mm]

So, jetzt würde ich gerne wissen, wo ich den Fehler beim Auflösen mache:

Zu berechnen ist das Integral:

[mm] 2*\integral_{-3}^{3}{\integral_{1}^{\sqrt{10-x^2}}{1* dy} dx} [/mm] = [mm] 2*\integral_{-3}^{3}{[y]^{\sqrt{10-x^2}}_1 dx} [/mm] = [mm] 2*\integral_{-3}^{3}{\sqrt{10-x^2} - 1 dx} [/mm] = [mm] 2*\integral_{-3}^{3}{\sqrt{10-x^2} dx}- 2*\integral_{-3}^{3}{1 dx} [/mm]

Mit der Formelsammlung und [mm] a=\sqrt{10} [/mm] folgt dann also:

[mm] 2*[\frac{1}{2}(x*\sqrt{\sqrt{10}^2-x^2}+\sqrt{10}^2*arcsin(\frac{x}{\sqrt{10}}))]^{3}_{-3} [/mm] - [mm] 2*[x]^3_{-3} [/mm] = [mm] [x*\sqrt{10-x^2}+10*arcsin(\frac{x}{\sqrt{10}}))]^{3}_{-3} [/mm] - 12

Jetzt die Grenzen noch einsetzen:

= [mm] (3*\sqrt{10-9}+10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}})) [/mm] - [mm] (-3*\sqrt{10-9}+10*arcsin(\frac{-3}{\sqrt{10}})) [/mm] - 12

= [mm] 3+10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) +3-10*arcsin(\frac{-3}{\sqrt{10}}) [/mm] - 12

= [mm] 10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) -10*arcsin(\frac{-3}{\sqrt{10}}) [/mm] - 6

= [mm] 10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) +10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) [/mm] - 6  <-- Ist das mit dem Minus rausziehen so ok?

= [mm] 20*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) [/mm]  - 6



Ist das so richtig??


Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 So 20.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Der-Madde-Freund,

> Ok, habe es verstanden, wenn ich [mm]\sqrt{10-x^2}[/mm] =
> [mm]\sqrt{10}*\sqrt{1-(\frac{x}{\sqrt{10}})^2}[/mm] schreibe, dann
> kann ich die Konstante [mm]\sqrt{10}[/mm] ja vors Integral ziehen
> und muss dann allerdings wieder substituieren.
>  
> Laut Formelsammlung gilt ja:
>  
> [mm]\integral{\sqrt{a^2-x^2} dx}=\frac{1}{2}(x*\sqrt{a^2-x^2}+a^2*arcsin(\frac{x}{a}))[/mm]
> und bei uns ist ja [mm]a=\sqrt{10}[/mm]
>  
> So, jetzt würde ich gerne wissen, wo ich den Fehler beim
> Auflösen mache:
>  
> Zu berechnen ist das Integral:
>  
> [mm]2*\integral_{-3}^{3}{\integral_{1}^{\sqrt{10-x^2}}{1* dy} dx}[/mm]
> = [mm]2*\integral_{-3}^{3}{[y]^{\sqrt{10-x^2}}_1 dx}[/mm] =
> [mm]2*\integral_{-3}^{3}{\sqrt{10-x^2} - 1 dx}[/mm] =
> [mm]2*\integral_{-3}^{3}{\sqrt{10-x^2} dx}- 2*\integral_{-3}^{3}{1 dx}[/mm]
>  
> Mit der Formelsammlung und [mm]a=\sqrt{10}[/mm] folgt dann also:
>  
> [mm]2*[\frac{1}{2}(x*\sqrt{\sqrt{10}^2-x^2}+\sqrt{10}^2*arcsin(\frac{x}{\sqrt{10}}))]^{3}_{-3}[/mm]
> - [mm]2*[x]^3_{-3}[/mm] =
> [mm][x*\sqrt{10-x^2}+10*arcsin(\frac{x}{\sqrt{10}}))]^{3}_{-3}[/mm]
> - 12
>  
> Jetzt die Grenzen noch einsetzen:
>  
> = [mm](3*\sqrt{10-9}+10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}))[/mm] -
> [mm](-3*\sqrt{10-9}+10*arcsin(\frac{-3}{\sqrt{10}}))[/mm] - 12
>  
> = [mm]3+10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) +3-10*arcsin(\frac{-3}{\sqrt{10}})[/mm]
> - 12
>  
> = [mm]10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) -10*arcsin(\frac{-3}{\sqrt{10}})[/mm]
> - 6
>  
> = [mm]10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}}) +10*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}})[/mm]
> - 6  <-- Ist das mit dem Minus rausziehen so ok?
>  


Ja, das ist ok.


> = [mm]20*arcsin(\frac{3}{\sqrt{10}})[/mm]  - 6
>  
>
>
> Ist das so richtig??
>


Ja. [ok]



Gruss
MathePower  

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Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 So 20.05.2012
Autor: Der-Madde-Freund

Danke fürs nachprüfen!!!

Noch eine formale Frage:

Ist es zulässig bei Doppelintegralen es formal so zu notieren $ [mm] 2\cdot{}\integral_{-3}^{3}{[y]^{\sqrt{10-x^2}}_1 dx} [/mm] $

also, dass ich quasi die Stammfunktion normal im INtegral mit den Grenzen einsetze? Oder muss ich das formal richtig quasi als Nebenrechnung machen und die Stammfunkton mit eingesetzen Grenzen dann erst ins Integral schreiben?

Bezug
                                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 So 20.05.2012
Autor: MathePower

Hallo Der-Madde-Freund,

> Danke fürs nachprüfen!!!
>  
> Noch eine formale Frage:
>  
> Ist es zulässig bei Doppelintegralen es formal so zu
> notieren [mm]2\cdot{}\integral_{-3}^{3}{[y]^{\sqrt{10-x^2}}_1 dx}[/mm]
>  
> also, dass ich quasi die Stammfunktion normal im INtegral
> mit den Grenzen einsetze? Oder muss ich das formal richtig
> quasi als Nebenrechnung machen und die Stammfunkton mit
> eingesetzen Grenzen dann erst ins Integral schreiben?


Es spricht nichts dagegen, das verbliebene Integral
zunächst so wie oben angegeben zu notieren.


Gruss
MathePower

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