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| Aufgabe | Sei [mm]x>0[/mm], [mm]n\in\IN[/mm], [mm]n>0[/mm]. Zu zeigen:
[mm] \integral_{0}^{x} {(x-y)^{\bruch{n}{2}-1} y^{-\bruch{1}{2}} dy} = \bruch{\Gamma(\bruch{1}{2}n)}{\Gamma(\bruch{n+1}{2})} x^{\bruch{n-1}{2}} \wurzel{\pi} [/mm] |
Hallo,
Das obige Integral ist eigentlich keine eigenständige Aufgabe, sondern ein Problem, welches mir beim Bearbeiten einer Aufgabe zur Wahrscheinlichkeitstheorie (genauer: Chi-Quadrat-Verteilung) begegnet. Ich stelle die Frage trotzdem in diesem Forum, da es mir nur um dieses Integral geht. Die Lösung lieferte mir MAPLE, und sie führt auch im Folgenden bei besagter Aufgabe zu dem richtigen Ergebnis.
Ich habe nur leider überhaupt keine Ahnung, wie ich dieses Integral angehen könnte. Hat jemand irgendeine Idee?
Gruß,
- Marcel
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Mit der Substitution
[mm]y = \frac{x}{2} \left( 1 - \sin{t} \right) \, , \ \ \ \mathrm{d}y = - \frac{x}{2} \cos{t} \ \mathrm{d}t[/mm]
sowie der trigonometrischen Beziehung
[mm]\left( 1 + \sin{t} \right)^{\frac{1}{2}} = \sin{\frac{t}{2}} + \cos{\frac{t}{2}} \, , \ \ - \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3}{2} \pi[/mm]
folgt:
[mm]\int_0^x~(x - y)^{\frac{n}{2} - 1} y^{- \frac{1}{2}}~\mathrm{d}y \ = \ \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{n - 1}{2}} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~\left( 1 + \sin{t} \right)^{\frac{n - 1}{2}}~\mathrm{d}t \ = \ \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{n - 1}{2}} \int_{- \frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}~\left( \sin{\frac{t}{2}} + \cos{\frac{t}{2}} \right)^{n - 1}}~\mathrm{d}t[/mm]
Und hier wird man wohl eine Rekursion vornehmen müssen (partielle Integration). Unterscheide die Fälle [mm]n[/mm] gerade und [mm]n[/mm] ungerade für den Terminierungsfall. Berechne das letzte Integral zunächst für [mm]n=1[/mm] und [mm]n=2[/mm].
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