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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 14.04.2015 | | Autor: | timmexD |
Hallo Mathefreunde,
unser neues Thema lautet: Flächeninhalt zwischen zwei Kurven. Beim Lernen bin ich auf eine Frage gestoßen, die mich nicht mehr loslässt.
Wenn man zum Beispiel die Funktionen y=-0,75x+2 und h(x)=x-1 gegeben hat und man die schraffierte Fläche berechnen möchte.
![[]](/images/popup.gif) Bild
[mm] \integral_{0}^{1,7}{(y-h(x)) dx} [/mm] Also obere Kurve minus untere Kurve.
Aber wieso funktioniert diese Rechnung hier auch? Wenn ich aber den Flächeninhalt der oberen Kurve berechne, nehme ich ja diese kleine Dreiecksfläche zwischen 1 und dem Schnittpunkt der Geraden (1,7) mit, und ziehe davon die Fläche der unteren Kurve mit den Grenzen o und 1,7 ab. Jetzt verstehe ich nicht, da ja eine Fläche bei h(x) negativ und eine positiv ist, wieso die Rechnung trotzdem funktioniert. Ich kann mich zwar an die Regel (obere Kurve - untere Kurve) halten, aber mit den Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen komme ich ganz durcheinander. Muss man hier jetzt mit dem Betrag rechnen oder nicht. Es kommt das gleiche Ergebnis heraus.
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Vielen Dank im Voraus
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> Hallo Mathefreunde,
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> unser neues Thema lautet: Flächeninhalt zwischen zwei
> Kurven. Beim Lernen bin ich auf eine Frage gestoßen, die
> mich nicht mehr loslässt.
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> Wenn man zum Beispiel die Funktionen y=-0,75x+2 und
> h(x)=x-1 gegeben hat und man die schraffierte Fläche
> berechnen möchte.
> Bild
>
> [mm]\integral_{0}^{1,7}{(y-h(x)) dx}[/mm] Also obere Kurve minus
> untere Kurve.
> Aber wieso funktioniert diese Rechnung hier auch?
Hallo,
(der Schnittpunkt ist bei x=1.71429.)
Es ist
[mm] A_1=\integral_{0}^{1.71429}{(-0.75+2)dx}
[/mm]
die Fläche des Vierecks, welches begrenzt wird durch
A(0|0), B(1.71429|0), C(1.71429|0.7142825), D(0|2).
Es ist
[mm] \integral_{0}^{1.71429}{(x-1)dx}=\red{\integral_{0}^{1}{(x-1)dx}}+\green{\integral_{1}^{1.71429}{(x-1)dx}}.
[/mm]
Das rote Integral ist das Negative der Flächenmaßzahl [mm] A_2 [/mm] des kleinen Dreiecks unterhalb der x-Achse,
also
[mm] \red{\integral_{0}^{1}{(x-1)dx}}=-A_2,
[/mm]
das grüne Integral liefert die Fläche [mm] A_3 [/mm] des kleinen Dreiecks über der x-Achse.
Insgesamt bekommen wir:
schraffierte [mm] Fläche=\integral_{0}^{1.71429}{[(-0.75+2)-(x-1)]dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1.71429}{(-0.75+2)dx}-\integral_{0}^{1.71429}{(x-1)]dx}
[/mm]
[mm] =A_1-[\red{\integral_{0}^{1}{(x-1)dx}}+\green{\integral_{1}^{1.71429}{(x-1)dx}}]
[/mm]
[mm] =A_1-[-A_2+A_3]
[/mm]
[mm] =A_1+A_2-A_3,
[/mm]
und das paßt ja auch zum Bild. Das Dreieckchen unten mit Flächeninhalt [mm] A_2 [/mm] wird drangeklebt, das Dreieckchen mit Flächeninhalt [mm] A_3 [/mm] wird abgeschnippelt.
LG Angela
> Wenn ich
> aber den Flächeninhalt der oberen Kurve berechne, nehme
> ich ja diese kleine Dreiecksfläche zwischen 1 und dem
> Schnittpunkt der Geraden (1,7) mit, und ziehe davon die
> Fläche der unteren Kurve mit den Grenzen o und 1,7 ab.
> Jetzt verstehe ich nicht, da ja eine Fläche bei h(x)
> negativ und eine positiv ist, wieso die Rechnung trotzdem
> funktioniert. Ich kann mich zwar an die Regel (obere Kurve
> - untere Kurve) halten, aber mit den Flächen, die
> unterhalb der x-Achse liegen komme ich ganz durcheinander.
> Muss man hier jetzt mit dem Betrag rechnen oder nicht. Es
> kommt das gleiche Ergebnis heraus.
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> Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
>
> Vielen Dank im Voraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 15.04.2015 | | Autor: | timmexD |
Vielen Dank für die tolle Antwort. Es wurde genau verstanden, was ich gemeint habe. Aber eine Frage habe ich noch.
Wenn ich rechne [mm] A_1- [-A_2+A_3] [/mm] und nur die Flächen in der Klammer betrachte.
Also: [mm] [-A_2+A_3] [/mm] Hier kommt ja eine Zahl heraus. Aber was bedeutet diese? Das verstehe ich nicht. Bei [mm] A_2 [/mm] kommt eine "negative" Fläche heraus und man addiert [mm] A_3.
[/mm]
Aber was bedeutet dieses Ergebnis, dass ich dann am Schluss zu [mm] A_1 [/mm] addieren muss in Zusammenhang mit der schraffierten Fläche? Hier liegt mein Problem
Vielen Dank im Voraus
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> Vielen Dank für die tolle Antwort. Es wurde genau
> verstanden, was ich gemeint habe. Aber eine Frage habe ich
> noch.
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> Wenn ich rechne [mm]A_1- [-A_2+A_3][/mm] und nur die Flächen in der
> Klammer betrachte.
> Also: [mm][-A_2+A_3][/mm] Hier kommt ja eine Zahl heraus. Aber was
> bedeutet diese? Das verstehe ich nicht.
Hallo,
ich hoffe, ich verstehe Dich richtig, ganz sicher bin ich mir nicht.
Mit [mm] A_2 [/mm] bezeichnete ich den Flächeninhalt des kleinen Dreiecks unter der x-Achse,
mit [mm] A_3 [/mm] den Flächeninhalt des kleinen Dreiecks oberhalb der x-Achse.
Es ist
[mm] \red{\integral_{0}^{1}{(x-1)dx}}=\b{-}A_2,
[/mm]
das Dreieck liegt unterhalb der Achse,
und
[mm] \green{\integral_{1}^{1.71429}{(x-1)dx}}=\b{+}A_3,
[/mm]
denn die Fläche liegt oberhalb der Achse.
$ [mm] \integral_{0}^{1.71429}{(x-1)dx}=\red{\integral_{0}^{1}{(x-1)dx}}+\green{\integral_{1}^{1.71429}{(x-1)dx}}=-A_2+A_3 [/mm]
liefert die Flächenbilanz, sagt uns, ob mehr Fläche zwischen dem Graphen von g(x)=x-1 und der x-Achse unterhalb oder oberhalb der Achse liegt, und auch wieviel mehr.
Das, was unterhalb der Achse liegt, bauen wir an die Fläche [mm] A_1 [/mm] (die unter dem Graphen von f(x)=-0.75x+2 und der x-Achse) an, das, was oberhalb liegt, schneiden wir ab.
Wir könnten stattdessen aber auch [mm] A_1 [/mm] nehmen,
[mm] (-A_2+A_3) [/mm] anschauen, und je nachdem, ob es positiv ist, weil mehr Fläche zwischen g(x) und x-Achse oberhalb liegt, schnippeln wir von dem "f(x)-Dreieck" ein bißchen etas ab,
wenn die Bilanz [mm] (-A_2+A_3) [/mm] negativ ist, kleben wir ein Schnippelchen dran.
> Bei [mm]A_2[/mm] kommt eine
> "negative" Fläche heraus und man addiert [mm]A_3.[/mm]
> Aber was bedeutet dieses Ergebnis, dass ich dann am
> Schluss zu [mm]A_1[/mm] addieren muss in Zusammenhang mit der
> schraffierten Fläche? Hier liegt mein Problem
Gesamtfläche= [mm] A_1-(-A_2+A_3)=A_1+A_2-A_3.
[/mm]
Das untere Dreieck wird an [mm] A_1 [/mm] angeklebt (die Fläche kommt dazu), das obere weggeschnippelt.
LG Angela
>
> Vielen Dank im Voraus
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Zunächst etwas zu deinen Bezeichnungen. [mm]x,y[/mm] sind Variable, [mm]h[/mm] dagegen ist ein Funktionsbezeichner. Die Mischschreibweise [mm]y-h(x)[/mm] ist nicht gut. Gib auch der ersten Funktion einen Namen, zum Beispiel [mm]g[/mm]. Dann hätten wir
[mm]g(x) = - \frac{3}{4} x + 2 \, , \ \ h(x) = x-1[/mm]
Die Schnittstelle der Geraden liegt nicht bei [mm]\ x=1{,}7[/mm], sondern bei [mm]x = \frac{12}{7}[/mm]. So viel Genauigkeit muß sein.
Jetzt zu deinem eigentlichen Problem. Wenn ich dich recht verstehe, willst du die Dreiecksfläche berechnen, die durch die [mm]y[/mm]-Achse und die beiden Geraden eingeschlossen wird, und zwar mit Hilfe der Integralrechnung. Und jetzt geht es darum, warum man das mit der Formel
[mm]\int_0^{\frac{12}{7}} \left( g(x) - h(x) \right) ~ \mathrm{d}x[/mm]
bewältigen kann, obwohl Flächenteile unterhalb der [mm]x[/mm]-Achse liegen. Nun, das ist kein Problem, es kommt nur auf die relative Lage der beiden Geraden an. Vielleicht hilft dir die folgende Überlegung. Verschiebe beide Geraden um denselben Wert nach oben, und zwar so weit, daß die Dreiecksfläche oberhalb der [mm]x[/mm]-Achse liegt, zum Beispiel durch Verschiebung um [mm]+3[/mm] (es würde [mm]+1[/mm] genügen). Du hast dann die beiden Funktionen
[mm]g^{\*}(x) = g(x) + 3 \, , \ \ h^{\*}(x) = h(x) + 3[/mm]
Zwar haben sich die beiden Geraden durch die Verschiebung geändert, nicht jedoch die Größe [mm]A[/mm] der Dreiecksfläche. Um diese zu berechnen, berechnest du zunächst die Fläche [mm]A_1[/mm] zwischen der [mm]x[/mm]-Achse und dem Graphen von [mm]g^{\*}[/mm], also [mm]\int_0^{\frac{12}{7}} g^{\*}(x) ~ \mathrm{d} x[/mm], und subtrahierst davon die Fläche [mm]A_2[/mm] zwischen der [mm]x[/mm]-Achse und dem Graphen von [mm]h^{\*}[/mm], also [mm]\int_0^{\frac{12}{7}} h^{\*}(x) ~ \mathrm{d}x[/mm]:
[mm]A = A_1 - A_2 = \int_0^{\frac{12}{7}} g^{\*}(x) ~ \mathrm{d} x - \int_0^{\frac{12}{7}} h^{\*}(x) ~ \mathrm{d} x[/mm]
Und jetzt beachtest du die Additivität des Integrals. Dann geht es so weiter:
[mm]A = \int_0^{\frac{12}{7}} \left( g^{\*}(x) - h^{\*}(x) \right) ~ \mathrm{d}x[/mm]
Der Integrand ist [mm]g^{\*}(x) - h^{\*}(x) = \left( g(x) + 3 \right) - \left( h(x) + 3 \right) = g(x) + 3 - h(x) - 3 = g(x) - h(x)[/mm]. Und damit ist die gesuchte Fläche
[mm]A = \int_0^{\frac{12}{7}} \left( g(x) - h(x) \right) ~ \mathrm{d}x[/mm]
Und das war schon alles. Warum das alles so schön funktioniert, liegt also an der Additivität des Integrals. Und eigentlich müßtest du dort nachfragen, warum die gilt. Denn wenn sie gilt, zeigt die obige Überlegung, warum es nur auf die relative Lage der beiden Graphen ankommt.
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