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| Aufgabe | Man berechne das Integral
[mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{\sin^2(t) dt}{1-2a \cos(t) +a^2}} [/mm] für [mm] a \in \IR[/mm] |
das ist meine Aufgabe und ich bin langsam am Verzweifeln.
Ich weiß, dass man das über die Subsitution [mm]z = e^{it}[/mm] lösen soll. Bzw über die Formel
[mm]\integral_{0}^{2\pi} R(cos t, sint) dt = 2\pi \summe_{|z| < 1} Res_z \bruch{1}{z} R(\bruch{1}{2} ( z + \bruch{1}{z}), \bruch{1}{2i} (z - \bruch{1}{z})) [/mm]
Wir haben als Beispiel schon
[mm] I = \integral_{0}^{2\pi} {\bruch{dt}{1-2a cos(t) +a^2}}[/mm] für a < 1 berechnet, dies stellt kein Problem dar:
[mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{dt}{1-2a cos(t) +a^2}}
= 2\pi \summe_{|z| < 1} Res_z \bruch{dz}{-az^2 +z(a^2+1)-a}
= 2\pi \summe_{|z| < 1} Res_z \bruch{dz}{(z-a)(z-\bruch{1}{a})(-a)}
[/mm]
Und da a < 1 interessiert nur das Residuum an dieser Stelle.
[mm] Res_{z=a} \bruch{1}{(z-a)(z-\bruch{1}{a})(-a)}= \limes_{z\rightarrow a} \bruch{(z-a)}{(z-a)(z-\bruch{1}{a})(-a)} = \bruch{1}{(a-\bruch{1}{a})(-a)}
= \bruch{1}{-a^2+1} [/mm]
Also [mm] I = \bruch{2\pi}{-a^2+1} [/mm]
Soweit so gut und einfach, aber Wenn ich nun diesen [mm]\sin^2(t)[/mm] Term im Zähler stehen hab steh ich wieder ochs vorm berg.... ich komm dann substitution soweit dass ich stehen hab:
[mm]\integral_{0}^{2\pi} {\bruch{\sin^2(t) dt}{1-2a \cos(t) +a^2}}
= 2\pi \summe_{|z| < 1} Res_z -\bruch{1}{4} \bruch{z^2 -2 + \bruch{1}{z^2}dz}{-az^2 +z(a^2+1)-a}
[/mm]
mh ja und nun ? Wenn ich nun mit [mm]z^2[/mm] erweiter hab ja auf einmal eine Polstelle 2. Grades hinzugefügt ( z = 0 ) und sowas hatten wir bis jetzt irgendwie nicht. Ich habs Testweise mal gemacht und komme auf ziemlich eklige Werte für die Residuen , von denen ich mir nicht vorstellen kann , dass diese richtig sind. Außerdem irritiert mich, dass Zähler und Nenner vom gleichen Grad sind, ich meine aus der Vorlesung in erinnerung zu haben, dass das Nennerpolynom mindestens einen Grad höher haben muss.
Zum guten Schluss irritiert mich, dass a nun auf einmal Element aus [mm]\IR[/mm] sein soll, aber das wird mit Fallunterscheidung wohl das geringste Problem sein hoffe ich :)
Würde mich echt freuen wenn mir jemand nen Tipp geben könnte, sitz da schon Stunden wie der letzte depp vor :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mo 09.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Du hast soweit alles richtig gemacht. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Das mit dem Nenner- und Zählergrad ist hier kein Problem, da verwechselst du was mit anderen Anwendungen des Residuensatzes.
Ich bezeichne die Funktion, die einen Pol in [mm] $z_0=0$ [/mm] der Ordnung $2$ hat und von der du das Residuum in [mm] $z_0=0$ [/mm] bestimmen willst, mal mit $f$.
Bilde nun [mm] $g(z)=z^2 \cdot [/mm] f(z)$.
Dann gilt (betrachte die Laurentreihen, dann siehst du es sofort):
[mm] $Res_{0}f [/mm] =g'(0)$.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:01 Mo 09.01.2006 | | Autor: | neverm0re |
vielen dank stefan, dein tipp hat mich gerettet.
Nach einigen Weiteren Rechnungen habe ich nun raus, dass
[mm] I = \pi[/mm] wenn |a| <= 1
und
[mm] I = \bruch{\pi}{a^2}[/mm] wenn |a| > 1
Scheint nach einigen Tests in Mathematica auch wirklich so zu sein :)
nochmal vielen dank
gruß David
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