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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:58 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Sanne |
Hallo zusammen,
in der Analysis-Probeklausur soll folgendes Integral berechnet werden
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} {\bruch{84\sin(x)}{2+2\sin(x)} dx}
[/mm]
Bei den ersten Schritten komm ich noch mit, erstmal nur die Stammfunktion ohne Integrationsgrenzen suchen und nach "Kürzen" die 42 vors Ingetral ziehen.
[mm] \integral {\bruch{84\sin(x)}{2+2\sin(x)} dx}=42\integral{\bruch{\sin(x)}{1+\sin(x)} dx}
[/mm]
Nun wird Substituiert und da verstehe ich die Substitution nicht so ganz.
[mm] \integral{\bruch{\sin(x)}{1+\sin(x)} dx}=[\integral{\bruch{\bruch{2t}{1+t^2}}{\bruch{1+2t}{1+t^2}}*\bruch{2}{1+t^2}dt}]=[\integral{\bruch{4t}{(t+1)^2(t^2+1)}dt}]
[/mm]
Die "Nebenrechnung" zur Substitution
[mm] t=\tan(\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] x=2\arctan(t)=\phi(t) [/mm]
[mm] \phi'(t)=\bruch{2}{1+t^2}
[/mm]
[mm] \sin(x)=\bruch{2t}{1+t^2}
[/mm]
[mm] \cos(x)=\bruch{1-t^2}{1+t^2}
[/mm]
$x$ bzw. [mm] \phi [/mm] und die Ableitung davon sind klar.
Konkret habe ich hier die Fragen, warum die Substitution [mm] t=\tan(\bruch{x}{2}) [/mm] gewählt wurde bzw. wie man dadrauf kommt.
Und dann hänge ich bei dem Schritt, wo substituiert wurde.
Die Multiplikation mit [mm] \phi'(t) [/mm] ist klar, aber wie kommt er in der Nebenrechnung auf den Wert für [mm] \sin(x) [/mm] und was hat er da für [mm] \sin(x) [/mm] im Zähler und Nenner eingesetzt? Da muss doch normalerweise jeweils der Wert von [mm] \phi(t) [/mm] für [mm] \sin(x) [/mm] hin? Das Brett vorm Kopf ist mittlerweile riesig, kann mir das bitte mal jemand zerdeppern?
Hier noch der Vollständigkeit halber der weitere Lösungsweg in Stichpunkten
Durch Partialbruchzerlegung kommt man anschließend auf
[mm] -2\bruch{1}{(t+1)^2}+2*\bruch{1}{t^2+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [-2\integral{\bruch{1}{(t+1)^2}dt}+2*\integral{\bruch{1}{t^2+1}dt}]=[\bruch{2}{t+1}+2\arctan(t)+C]
[/mm]
und durch Rücksubstitution auf
[mm] \bruch{2}{\tan(\bruch{x}{2})+1}+x+c
[/mm]
Durch Einsetzen der Ingetrationsgrenzen erhält man [mm] 21\pi-42
[/mm]
Der komplette Rest ist klar, hab ich nur mal mit aufgeschrieben, falls jemand die Aufgabe zur Übung nachrechnen will...
Danke schonmal im Voraus,
Gruß
Sanne
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Hallo Sanne!
> Nun wird Substituiert und da verstehe ich die Substitution
> nicht so ganz.
>
> [mm]\integral{\bruch{\sin(x)}{1+\sin(x)} dx}=[\integral{\bruch{\bruch{2t}{1+t^2}}{\bruch{1+2t}{1+t^2}}*\bruch{2}{1+t^2}dt}]=[\integral{\bruch{4t}{(t+1)^2(t^2+1)}dt}]
[/mm]
>
>
> Die "Nebenrechnung" zur Substitution
>
> [mm]t=\tan(\bruch{x}{2})
[/mm]
> [mm]x=2\arctan(t)=\phi(t)[/mm]
> [mm]\phi'(t)=\bruch{2}{1+t^2}
[/mm]
> [mm]\sin(x)=\bruch{2t}{1+t^2}
[/mm]
> [mm]\cos(x)=\bruch{1-t^2}{1+t^2}
[/mm]
>
> [mm]x[/mm] bzw. [mm]\phi[/mm] und die Ableitung davon sind klar.
>
> Konkret habe ich hier die Fragen, warum die Substitution
> [mm]t=\tan(\bruch{x}{2})[/mm] gewählt wurde bzw. wie man dadrauf
> kommt.
Das wird auch als Universalsubstitution bezeichnet, man kommt darauf, da man weiß, dass [mm] \sin(x)=\frac{\tan(x)}{\wurzel{1+\tan^2(x)}} [/mm] bzw. [mm] cos(x)=\frac{1}{\wurzel{1+\tan^2(x)}}
[/mm]
>
> Und dann hänge ich bei dem Schritt, wo substituiert
> wurde.
>
> Die Multiplikation mit [mm]\phi'(t)[/mm] ist klar, aber wie kommt er
> in der Nebenrechnung auf den Wert für [mm]\sin(x)[/mm]
man berechnet
[mm] $sin(2\arctan(t))=\frac{\tan(2\arctan(t))}{\wurzel{1+\tan^2(2\arctan(t)}}=\frac{2t}{(1-t^2)\wurzel{1+(\frac{2t}{1-t^2})^2}} [/mm] $
$(da [mm] \tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-tan^2(x)})$
[/mm]
[mm] $=\frac{2t}{(1-t^2)\wurzel{\frac{1+2t^2+t^4}{(1-t^2)^2}}}=\frac{2t}{1+t^2}$
[/mm]
> er da für [mm]\sin(x)[/mm] im Zähler und Nenner eingesetzt? Da muss
> doch normalerweise jeweils der Wert von [mm]\phi(t)[/mm] für [mm]\sin(x)[/mm]
nein, man setzt für x [mm]\phi(t)[/mm] ein, also für sin(x) [mm] \bruch{2t}{1+t^2}
[/mm]
Dann erhält man:
[mm] \integral{\bruch{\sin(x)}{1+\sin(x)} dx}=[\integral{\bruch{\bruch{2t}{1+t^2}}{\bruch{(1+t)^2}{1+t^2}}*\bruch{2}{1+t^2}dt}]=[\integral{\bruch{4t}{(t+1)^2(t^2+1)}dt}] [/mm]
(kann es sein, dass du dich oben verschrieben hast?)
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:12 Mo 14.02.2005 | | Autor: | Sanne |
Super, ich danke dir vielmals...
Da wir keine Formelsammlung in der Klausur nehmen dürfen, werd ich mir das mit dem [mm] \sin(x)=\frac{\tan(x)}{\wurzel{1+\tan^2(x)}} [/mm] und [mm] \cos(x)=\frac{1}{\wurzel{1+\tan^2(x)}} [/mm] dann mal genau merken... Und die häufigsten Universalsubstitutionen auswendig lernen, grmpf... (hab ja auch nix sinnvolleres zu tun, wozu gibt es eigentlich Formelsammlungen, wenn man dann doch alles auswendig lernen darf).
Oben hab ich mich nicht verschrieben, aber kann gut sein, dass ich mich beim Abschreiben im Hörsaal verhauen habe, bei dem Tempo ;o)
Also lieben Dank nochmal,
Gruß
Sanne
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