Integral Mit Satz von Gauß < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten einen Zylinder (Radius $R$) um die $z$-Achse mit Position [mm] $-h\leq z\leq [/mm] h$.
Dieser werde von einem Fluss [mm] $\vec E(\vec x)=(\alpha*x^3,\beta y^2,0)$ [/mm] durchströmt. Mit dieser Szenerie soll der Gauß'sche Satz
[mm] $$\int_V\mathrm d^3x\Nabla\,\vec E=\int_{\partial V}\mathrm d\vec f\,\vec [/mm] E$$
verifiziert werden. |
Hallo!
ich soll den Satz von Gauß an obigen Beispiel testen. Ich substituiere dazu mit Zylinderkoordinaten und benutze zugehörige Divergenz und erhalte links:
[mm] $\int_{r=0}^R\int_{z=-h}^h\int_{\varphi=0}^{2\pi}\left(\frac{1}{4}r^3\alpha\cos(\varphi)^4+\frac{1}{3}r^2\beta\sin(\varphi)^3-\alpha r^3\frac{\partial(cos(\varphi)^3\sin(\varphi))}{\partial \varphi}+\beta r^2\frac{ \partial(\sin(\varphi)^2´\cos(\varphi))}{\partial \varphi}\right)\mathrm d\varphi\mathrm dz\mathrm [/mm] dr$
Ich bekomme [mm] $\frac{3}{32}\alpha\pi hR^4$ [/mm] heraus, aber auf der rechten Seiten mit dem Flächenintegral
[mm] $\int_{z=-h}^h\int_{\varphi=0}^{2\pi}( -\alpha R^4\cos(\varphi)^4\sin(\varphi) -\beta R^3\sin(\varphi)^4)d\varphi\mathrm [/mm] dz$
- wobei [mm] $\vec [/mm] n=(x,y,0)$ auf der Mantelfläche, Deckel und Bodenfläche des Zylinders bringen wegen [mm] $\vec n_{Boden}\perp \vec [/mm] E$ keinen Beitrag (in $z$-Richtung fließt ja auch nix) -
bekomme ich [mm] $\frac{3}{2}h \beta\pi R^3$. [/mm]
Ich weiß, dass es ne Formelschlacht ist, wär deshalb besonders nett, wenn mal jemand drauf schauen könnt und mir sagen kann was ich falsch mach.
Herzlichen Gruß,
Lorenz
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Hallo Riesenradfahrrad,
> Wir betrachten einen Zylinder (Radius [mm]R[/mm]) um die [mm]z[/mm]-Achse mit
> Position [mm]-h\leq z\leq h[/mm].
> Dieser werde von einem Fluss [mm]\vec E(\vec x)=(\alpha*x^3,\beta y^2,0)[/mm]
> durchströmt. Mit dieser Szenerie soll der Gauß'sche Satz
> [mm]\int_V\mathrm d^3x\Nabla\,\vec E=\int_{\partial V}\mathrm d\vec f\,\vec E[/mm]
>
> verifiziert werden.
> Hallo!
>
> ich soll den Satz von Gauß an obigen Beispiel testen. Ich
> substituiere dazu mit Zylinderkoordinaten und benutze
> zugehörige Divergenz und erhalte links:
>
> [mm]\int_{r=0}^R\int_{z=-h}^h\int_{\varphi=0}^{2\pi}\left(\frac{1}{4}r^3\alpha\cos(\varphi)^4+\frac{1}{3}r^2\beta\sin(\varphi)^3-\alpha r^3\frac{\partial(cos(\varphi)^3\sin(\varphi))}{\partial \varphi}+\beta r^2\frac{ \partial(\sin(\varphi)^2´\cos(\varphi))}{\partial \varphi}\right)\mathrm d\varphi\mathrm dz\mathrm dr[/mm]
Hier mußt Du zuerst die Divergenz des Vektorfeldes [mm]\vec E(\vec x)[/mm]
berechnen und dann erst die Parametrisierung einsetzen.
Das Volumenelement transformiert sich in Zylinderkoordinaten so:
[mm]dV \ = \ r \ dr \ d\varphi \ dz[/mm]
Dann ist
[mm]}\integral_{V}^{}{\operatorname{div}} \ \vec E(\vec x) \ dV[/mm]
zu berechnen.
>
> Ich bekomme [mm]\frac{3}{32}\alpha\pi hR^4[/mm] heraus, aber auf der
> rechten Seiten mit dem Flächenintegral
>
> [mm]\int_{z=-h}^h\int_{\varphi=0}^{2\pi}( -\alpha R^4\cos(\varphi)^4\sin(\varphi) -\beta R^3\sin(\varphi)^4)d\varphi\mathrm dz[/mm]
>
> - wobei [mm]\vec n=(x,y,0)[/mm] auf der Mantelfläche, Deckel und
> Bodenfläche des Zylinders bringen wegen [mm]\vec n_{Boden}\perp \vec E[/mm]
> keinen Beitrag (in [mm]z[/mm]-Richtung fließt ja auch nix) -
>
> bekomme ich [mm]\frac{3}{2}h \beta\pi R^3[/mm].
Hier ist zunächst das Skalarprodukt des Vektorfeldes [mm]\vec E(\vec x)[/mm]
mit dem Normeneinheitsvektor der berandeten Fläche zu bilden.
Bleibt noch das Flächenelement [mm]\mathrm dA[/mm]
Ist S die Parametrisierung der berandeten Fläche, dann gilt:
[mm]\mathrm dA=\wurzel{\vmat{\begin{matrix} \bruch{\partial S}{\partial \varphi} \* \bruch{\partial S}{\partial \varphi} & \bruch{\partial S}{\partial \varphi} \* \bruch{\partial S}{\partial z} \\ \bruch{\partial S}{\partial \varphi} \* \bruch{\partial S}{\partial z} & \bruch{\partial S}{\partial z} \* \bruch{\partial S}{\partial z}\end{matrix} } } \ d\varphi \ dz[/mm]
Dann ist
[mm]\integral_{\partial V}^{}<\vec E,n> \ dA[/mm]
zu berechnen.
>
> Ich weiß, dass es ne Formelschlacht ist, wär deshalb
> besonders nett, wenn mal jemand drauf schauen könnt und
> mir sagen kann was ich falsch mach.
>
> Herzlichen Gruß,
> Lorenz
Gruss
MathePower
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