Integral + Substitution von ln < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:40 Do 24.01.2013 | | Autor: | Jack2401 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgendes Integral durch Rückführung auf Grundinterale! Geben Sie die verwendete Substitution an! (S= Integralzeichen)
[mm] \integral_{}^{}{4xln(x²+2)dx}
[/mm]
Als Lösung (die man im Normalfall ja nicht hat) ist fogendes Angegeben:
Substitution z=x²+2
[mm] \integral_{}^{}{2ln(z)dz = 2(zln(z)-z)+c}
[/mm]
Rücksubstitution vornehmen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nachdem ich das Kapitel vom Lehrbuch nun 3 mal durchgelesen habe verstehe ich immer noch nur Bahnhof!!! Und das obwohl mir Mathe noch nie schwer gefallen ist. Kann mir jemand die Lösung dieser Aufgabe erklären?
Vielen Dank vorab
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Hallo Jack2401 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bestimmen Sie folgendes Integral durch Rückführung auf
> Grundinterale! Geben Sie die verwendete Substitution an!
> (S= Integralzeichen)
>
> [mm]\integral_{}^{}{4xln(x²+2)dx}[/mm]
Exponenten musst du mit dem Dach ^ links neben der 1 eingeben, sonst werden sie nicht angezeigt:
[mm]x^2+2[/mm] gibst du so ein: x^{2}+2
>
> Als Lösung (die man im Normalfall ja nicht hat) ist
> fogendes Angegeben:
>
> Substitution z=x²+2
> [mm]\integral_{}^{}{2ln(z)dz = 2(zln(z)-z)+c}[/mm]
>
> Rücksubstitution vornehmen
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Nachdem ich das Kapitel vom Lehrbuch nun 3 mal durchgelesen
> habe verstehe ich immer noch nur Bahnhof!!! Und das obwohl
> mir Mathe noch nie schwer gefallen ist. Kann mir jemand die
> Lösung dieser Aufgabe erklären?
Nun, mit [mm]z=z(x)=x^2+2[/mm] ist doch [mm]z'(x)=\frac{dz}{dx}=2x[/mm], also [mm]dx=\frac{1}{2x} \ dz[/mm]
Ersetzt man das Im Ausgangsintegral, so ergibt sich
[mm]\int{4x\ln(x^2+2) \ dx} \ = \ \int{4x\ln(z) \ \frac{1}{2x} \ dz} \ = \ 2\int{\ln(z) \ dz}[/mm]
Und das Integral [mm]\int{\ln(z) \ dz}[/mm] kannst du mit partieller Integration lösen:
[mm]\int{\ln(z) \ dz}=\int{1\cdot{}\ln(z) \ dz}[/mm]
Setze [mm]u'=1[/mm] und [mm]v=\ln(z)[/mm]
Dann ist [mm]\int{u'(z)v(z) \ dz}=u(z)v(z)-\int{u(z)v'(z) \ dz}[/mm]
So, nun habe ich schon zuviel verraten ...
Rechne es mal durch ...
>
> Vielen Dank vorab
Gruß
schachuzipus
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