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| Aufgabe | Die Funktion f ist gegeben durch f(x) = 1/4 [mm] x^4 [/mm] - 3/2 [mm] x^2 [/mm] + 1/4
a.) Untersuche und zeichne den Graphen von f.
b.) Berechne den Inhalt der von der Verbindungsgeraden der Tiefpunkte und dem Graphen von f eingeschlossenen Fläche.
c.) Die beiden Wendetangenten und die Verbindungsgerade der Wendepunkte bilden ein Dreieck. In welchm Verhältnis teilt der Graph von f die Fläche dieses Dreiecks ? |
Die a ist mir soweit klar.
bei der b würde ich zunächst die 1 ableitung bilden um die Tiefpunkte herauszufinden. bzw die 2 und zu sehn ob es tatsächlich tiefpunkte sind ?
und dann tangentengleichung ?
bei der c brauch ich die 2 ableitung um die wendepunkte herauszufinden.. und dann? versteh ich nicht ganz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Kathrineee!
> bei der b würde ich zunächst die 1 ableitung bilden um die
> Tiefpunkte herauszufinden. bzw die 2 und zu sehn ob es
> tatsächlich tiefpunkte sind ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr gut.
> und dann tangentengleichung ?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein: Du musst die Gleichung derjenigen Gerade ermittlen, welche durch die beiden Tiefpunkte verläuft.
Verwende dafür z.B. die Zwei-Punkte-Form:
[mm] $$\bruch{g(x)-y_1}{x-x_1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$
[/mm]
> bei der c brauch ich die 2 ableitung um die wendepunkte
> herauszufinden.. und dann? versteh ich nicht ganz
Dann die entsprechenden Wendetangenten berechnen und wie oben die Verbindungsgerade zwischen den Wendepunkten.
Für die Flächenberechnung dann zunächst eine Skizze machen (ist immer hilfreich!).
Gruß vom
Roadrunner
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f'(x) = [mm] x^3 [/mm] - 3x
0= [mm] x^3 [/mm] -3x
0 = x [mm] (x^2 [/mm] -3)
x1 = 0
[mm] x^2 [/mm] -3 = o
x = wurzel 3
dann habe ich die y werte berechnet und als Punkte P1 (0/1/4) und P2 (wurzel 3/ -2) herausbekommen
jetzt muss ich das mit der 2 ableitung überprüfen? was muss ich da nochmal einsetzen? 2. ableitung = 0 setzen? oder die x werte einsetzen ?
hab das mit der gleichung für die gerade nicht verstanden :(
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Hallo,
1. Ableitung ist korrekt,
Nullstellen der 1. Ableitung sind:
[mm] x_1=0 [/mm] hast du
[mm] x_2=\wurzel{3} [/mm] hast du
[mm] x_3=-\wurzel{3} [/mm] fehlt dir noch
2. Ableitung [mm] f''(x)=3x^{2}-3 [/mm] jetzt überprüfe
f''(0)= ..... <0
[mm] f''(\wurzel{3})= [/mm] ..... >0
[mm] f''(-\wurzel{3})= [/mm] ..... >0
somit kannst du überprüfen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt,
im nächsten Schritt benötigst du die Funktionswerte, also f(x), der beiden Minima, die übrigens gleich sind, um die gesuchte Gerade zu finden, es ist eine Parallele zur x-Achse, zeichne dir aber zunächst die Funktion, damit du einen Überblick bekommst,
Steffi
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ja, stimmt wenn ich quadrier oder wurzel zieh dann immer +- , hab ich vergessen
ok, hab ich jetzt gemacht, also hab ich P1 (wurzel3/ -2) und P2 (-wurzel3/-2) als Tiefunkte und P (0/ 1/4) is ein hochpunkt also nicht relevant)
Ja, aber ich versteh nicht wie man das rechnen kann mit der gerade?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:42 Do 06.11.2008 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Kathrineee,
> ja, stimmt wenn ich quadrier oder wurzel zieh dann immer +-
> , hab ich vergessen
>
> ok, hab ich jetzt gemacht, also hab ich P1 (wurzel3/ -2)
> und P2 (-wurzel3/-2) als Tiefunkte und P (0/ 1/4) is ein
> hochpunkt also nicht relevant)
>
> Ja, aber ich versteh nicht wie man das rechnen kann mit der
> gerade?
Du suchst eine Gerade, die durch beide Tiefpunkte geht. Da die Tiefpunkte dieselbe y-Koordinate habe, liegen sie auf der Parallelen zur x-Achse mit der Gleichung $ y = -2 $
Dies ist zufällig auch die gemeinsame Tangente, aber das ist nicht immer so.
Gruß
Sigrid
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Ahh verstanden. danke
seh ja jetzt and der Zeichnung das es im positiven und negativen bereich verläuft, also muss ich jetzt die nullstelle von f (x) bestimmen um zu wissen von wo bis wo ich integrieren muss?
und dann den schnittpunkt von y= -2 und f (x) berechnen und dann im berechneten intevall einsetzen ?
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Hallo, deine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, also betrachten wir das Intervall von 0 bis [mm] \wurzel{3}, [/mm] dann verdoppeln, die hellblaue Fläche suchen wir,
1. Teil: Integral von 0 bis Nullstelle, oberhalb der x-Achse, sollte kein Problem sein, liegt im 1. Quadranten,
2. Teil: Integral von Nullstelle bis [mm] \wurzel{3} [/mm] entspricht ja der weißen Fläche, wir benötigen aber die hellblaue im 4. Quadranten, berechne das Rechteck mit den Seitenlängen 2 und [mm] \wurzel{3}, [/mm] davon dann die oben genannte Fläche subtrahieren,
Steffi
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ich hab jetzt die nullstellen versucht zu berechnen mit Biquadratische Gleichung und dann kommt bei mir das raus, kann irgendwie nicht sein
f (x) = 1/4 [mm] x^4 [/mm] -3/2 [mm] x^2 [/mm] + 1/4
[mm] x^2 [/mm] = z
0 = 1/4 [mm] z^2 [/mm] - 3/2 z + 1/4 / mal 4
0= [mm] z^2 [/mm] - 6z +1
pq formel:
z1= 3 + wurzel 10 = 6, 1622.. ^2 = 37.973..
z2= 3- wurzel 10 =- 0,162277.. ^2 = 0,026
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Hallo,
Substitution ok,
p-q-Formel, kleiner Fehler, q=1, es heißt doch [mm] \wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q}
[/mm]
also [mm] z_1_2=3\pm\wurzel{8}
[/mm]
jetzt noch die Rücksubstitution:
[mm] x^{2}=z
[/mm]
interessant ist nur [mm] 3-\wurzel{8}
[/mm]
[mm] x^{2}=3-\wurzel{8}
[/mm]
interessant ist wiederum nur
[mm] x=\wurzel{3-\wurzel{8}}
[/mm]
x=0,4142.....
damit hast du die Integrationsgrenze
Steffi
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Ohh ja, hab ich übersehen! :)
danke!
jetzt hab ich von 0 bis 0,4142 integriert
und als fläche -0,0686291... also + 0,0686291... erhalten
somit hab ich schonmal die fläche im positiven bereich!
dann hab ich das rechteck berechnet
wurzel 3 mal 2 = 3.4641
dann hab ich von nullstelle bis wurzel 3 integriert
und 1,317011 erhalten
und dann A rechteck - A ns-wurzel 3
= 2,1470..
und das dann + A 0- ns = 2,2157... das dann mal 2 = 4,4314
und bei der c muss ich ja eig das gleiche machen nur mit wendepunkten oder?
vielen dank für die hilfe :)
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Hallo,
1. Flächenstück: 0,068629 FE (Integral von 0 bis Nullstelle)
Rechteck: [mm] 2*\wurzel{3} [/mm] FE
2. Flächenstück: 1,45426 FE (Integral von Nullstelle bis [mm] \wurzel{3})
[/mm]
solltest du noch einmal überprüfen)
[mm] A_g_e_s=0,068629 FE+(2*\wurzel{3}-1,45426 [/mm] FE)
bedenke, dann zu verdoppeln
zu c)
jein
[Dateianhang nicht öffentlich]
die Wendepunkte sind (1;-1) und (-1;-1)
die Wendetangenten sind [mm] f_1(x)=-2x+1 [/mm] und [mm] f_2(x)=2x+1 [/mm] (grün)
die Verbindungsgerade der Wendepunkte: y=-1 (blau)
berechne jetzt die Fläche des Dreiecks [mm] \bruch{1}{2}*g*h
[/mm]
berechne dann die Fläche zwischen der Gerade y=-1 und der Funktion
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Ja, die b hab ich jetzt auch so! :)
aber die c versteh ich nicht!
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Hallo, poste doch mal bitte, wo es Probleme gibt, ich habe dir doch schon die Wendepunkte gegeben, über 2. Ableitung, ebenso die Wendetangenten, Steffi
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Hallo,
hab zuerst die 2 ableitung = 0 gesetzt
0= [mm] 3x^2 [/mm] -2
und dann hab ich die punkte P1 (1;-1) P2 (-1;-1)
und dann will ich mit der 1 ableitung die angentengleichung berechnen?
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Hallo, sieht doch gut aus, eine Tangente genügt der Gleichung y=mx+n, den Anstieg bekommen wir aus der 1. Ableitung, also f'(-1) und f'(1) berechnen, dann hast du doch für jede Tangente schon einen Punkt, setze diesen in die Gleichung ein (m hast du ja mitlerweile) und berechne n, viel Erfolg, Steffi
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Ok, die tangentengleichungen hab ich jetzt
1. g(x)= -2 x +1
2. g(x) = 2x+1
und die fläche des dreiecks ist 2!
jetzt muss ich integrieren?
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Hallo, sieht sehr gut aus, Tangenten ok, Fläche Dreieck ok, schaue dir noch einmal meine Skizze an, hellblaue Fläche, berechne zunächst den Anteil im 1. Quadranten, kannst du aus b) übernehmen, dann den Anteil im 4. Quadranten, gehe vom Quadrat mit den Eckpunkten (0;0), (1;0), 1;-1), 0;-1) aus und subtrahiere wieder das Integral von Nullstelle (hast du auch schon) bis 1, dann die Fläche aber noch verdoppeln, Steffi
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Danke
das hab ich jetzt gemacht
und hab von 0,4142 bis 1 integriert das quadrat hat die fläche 1 und oben wieder 0,06829
nur beim letzten schritt vom integrieren bin ich mir nicht ganz sicher
es kommt wenn ich 1 einsetze -1/5 raus und bei 0,4142 wieder 0,068...
muss dann die -1/5 in betrag nehmen und zu + machen und dann - 0,68...
= -0,48629 und dass dann wider + 0,48629
und dann 0,068629 + (1- 0,48629) = 0,582339
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Hallo, ein kleines Vorzeichenproblem, die Grenzen eingesetzt ergibt
-0,2 - 0,068629 = - 0,268629, das Flächenstück liegt unterhalb der x-Achse, also hat es eine Fläche von 0,268629 FE, jetzt
0,068629 FE+(1 FE - 0,268629 FE)=0,8 FE
wir müssen noch verdoppeln, erhalten also 1,6 FE, so und nun noch das Verhältnis, das Dreieck hat 2,0 FE, teilt sich also in 0,4 FE und 1,6 FE, das Verhältnis
[mm] \bruch{0,4 FE}{1,6 FE}=\bruch{...}{...}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:08 Do 06.11.2008 | | Autor: | Kathrineee |
Ok, vielen Dank hab jetzt glaub ich alles verstanden!!!
Liebe Grüße Kathrin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Do 06.11.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, da die Zeichnung nun mal fertig ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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