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Integral: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Fr 28.05.2010
Autor: Mimuu

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+\wurzel{x^{2}+2x+2}}dx} [/mm]

Ich habe versucht eine Partialbruchzerlegung vorzunehmen. hat aber leider nicht ganz geklappt. und [mm] x^{2}+2x+2 [/mm] hat auch keine reelle Nullstelle.
kann mir jemand sagen, was ich falsch gemacht habe? bzw. mir einen tipp geben. wäre echt super.

        
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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:34 Fr 28.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

nutze die die dritte binomische Formel, also multipliziere Zähler und Nenner mit [mm] x-\wurzel{x^2+2x+2} [/mm] . Danach im Zähler quadratisch ergänzen, subsituieren und voila :)

LG

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Integral: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 Fr 28.05.2010
Autor: Mimuu

danke für den hinweis. klingt echt logisch:)
ich hab das jetzt mal gemacht.dann habe ich:
[mm] \integral_{}^{}\bruch{x-\wurzel{x^{2}+2x+2}}{2x+2}dx [/mm]

aber an der stelle hänge ich. wie quadratisch ergänzen geht, weiß ich prinzipiell, aber was muss ich hier ergänzen?


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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:14 Fr 28.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

naja da wo es war zu ergänzen gibt. Unter der Wurzel :)... Schreib das ganze um:

[mm] \integral{\bruch{1}{x+\wurzel{x^2+2x+2}} dx}=\integral{\bruch{x-\wurzel{x^2+2x+2}}{-2x-2} dx}=\integral{\bruch{x}{-2x-2}-\bruch{\wurzel{x^2+2x+2}}{-2x-2} dx}. [/mm]

Jetzt unter der Wurzel quadratisch ergänzen und dann substituieren... Du hast dir da wirklich nen ganz schön doofes integral ausgesucht !

LG

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Integral: Rückantwort
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Fr 28.05.2010
Autor: Mimuu

Ich steh glaub echt auf dem Schlauch;)
Ich habe jetzt gerechnet, so dass bei mir steht:

für den hinteren term ergibt sich:
[mm] \bruch{\wurzel{(x+1)^{2}-1}}{-2(x+1)} [/mm]

aber das kann ich so ja nicht kürzen, oder?

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:44 Fr 28.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

nein kürzen kannst du das nicht, du kannst aber u=x+1 substituieren, dann u=tan(s) , dann [mm] t=tan\left(\bruch{s}{2}\right) [/mm] . Wie ich schon sagte, das wird lustig das Integral.

Gucks dir hier an und klicke auf "Show Steps", ist immer rechts oben in der Ecke, orange-farbene Schrift.


[]Link


Lg

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Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Fr 28.05.2010
Autor: Mimuu

Danke. Nur eine kleine Frage habe ich noch zum Link.
Wofür steht die Abkürzung "sec"?

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Fr 28.05.2010
Autor: Arcesius

Hallo

> Danke. Nur eine kleine Frage habe ich noch zum Link.
>  Wofür steht die Abkürzung "sec"?

Das steht für "secant". Das ist der Kehrwert des Cosinus.

Grüsse, Amaro

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Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:39 Fr 28.05.2010
Autor: Mimuu

ich versuche gerade die rechenschritte der aufgabe nachzuvollziehen.
kann mir jemand sagen wie man auf folgende umformung kommt

[mm] \wurzel{tan^{2}(s)+1} [/mm] = sec (s)

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:40 Fr 28.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

nimm den trigonometrischen Pythagoras, also

[mm] sin^2(x)+cos^2(x)=1 [/mm]

dividiere durch [mm] cos^2(x) [/mm] , dann erhältst du

[mm] tan^2(x)+1=sec^2(x) [/mm] .

LG

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Integral: Alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 Fr 28.05.2010
Autor: Mimuu

Dankeschön:)
Nicht schwer, aber man muss drauf kommen

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Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Sa 29.05.2010
Autor: Mimuu

Ich habe mir die aufgabe jetzt bei wolframalpha nochmal angeschaut. muss man das wirklich so oft substituieren oder gibt es auch einen einfacheren weg?

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Sa 29.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

ich habe jetzt nicht die Lust gehabt das anze Integral zu bestimmen, aber oftmals ist es bei wolframalpha hilfreich sich den anfang anzusehen und dann selbst weiter zu machen, das führt oftmals schneller zum Ziel. Wo genau jetzt Schritte zuviel gemacht wurden, vermag ich nicht zu sagen, aber ich denke nach der substitution [mm] t=tan\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] müsste es eigentlich relativ schnell gehen, wenn du eine partialbruchzerlegung durchführst.

LG

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Integral: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:38 Fr 28.05.2010
Autor: Mimuu

Bei obigem Link habe ich noch eine kleine Frage:

bei den ausführungen heißt es: ...substitution [mm] sin(s)=\bruch{2p}{p^{2}+1}, [/mm] cos(s) [mm] =\bruch{1-p^{2}}{p^{2}+1} [/mm]  und ds= [mm] \bruch{2dp}{p^{2}+1} [/mm]

wie kommt man darauf hier sin zu substituieren und wie erhält man ds?

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Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Fr 28.05.2010
Autor: MontBlanc

Hallo,

mal' dir ein rechtwinkliges dreieck auf. Du nimmst [mm] \bruch{x}{2} [/mm] als nicht-rechten winkel. [mm] tan\left(\bruch{x}{2}\right)=t, [/mm] d.h die Gegenkathete des Winkel hat die Länge t, die Ankathete die Länge 1 , ergo ist nach Pythagoras die Hypotenuse [mm] \wurzel{1+t^2}. [/mm]

Nun gilt [mm] sin(x)=sin\left(2*\bruch{x}{2}\right)=2*sin\left(\bruch{x}{2}\right)*cos\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm]

und [mm] sin\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] und [mm] cos\left(\bruch{x}{2}\right) [/mm] kannst du aus dem Dreieck bestimmen:

[mm] sin\left(\bruch{x}{2}\right)=\bruch{t}{\wurzel{1+t^2}} [/mm]

LG

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