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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die FUnktion [mm] f(x)=2+cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)-1.
[/mm]
Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers,der durch Rotation des Graphen von f über I=-1;1] um die x-Achse entsteht. |
Hallo zusammen,
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr ganz weiter.Also die Rotationsformel ist ja hier [mm] V=\pi*\integral_{-1}^{1}{(f(x))^{2} dx}.
[/mm]
Ich hab jetzt zuerst [mm] (f(x))^{2} [/mm] berechnet und habe [mm] (f(x))^{2}=4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{2}-4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)+1
[/mm]
und dann integriert: [mm] \integral_{-1}^{1}{(f(x))^{2} dx}=[\bruch{2}{\pi}*\bruch{4}{3}*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{3}-4*sin(\bruch{\pi}{2}x+\pi)*\bruch{2}{\pi}+x]
[/mm]
Ich bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.Kann mir bitte jemand sagen,ob meine Rechnung bis hierhin stimmt ?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:34 Mi 03.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben ist die FUnktion
> [mm]f(x)=2+cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)-1.[/mm]
Ich denke Deine Funktion lautet:
[mm]f(x)=2*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)-1.[/mm]
> Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers,der durch
> Rotation des Graphen von f über I=-1;1] um die x-Achse
> entsteht.
> Hallo zusammen,
>
> Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr ganz weiter.Also
> die Rotationsformel ist ja hier
> [mm]V=\pi*\integral_{-1}^{1}{(f(x))^{2} dx}.[/mm]
>
> Ich hab jetzt zuerst [mm](f(x))^{2}[/mm] berechnet und habe
> [mm](f(x))^{2}=4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{2}-4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)+1[/mm]
>
> und dann integriert: [mm]\integral_{-1}^{1}{(f(x))^{2} dx}=[\bruch{2}{\pi}*\bruch{4}{3}*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{3}-4*sin(\bruch{\pi}{2}x+\pi)*\bruch{2}{\pi}+x][/mm]
>
> Ich bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.Kann
> mir bitte jemand sagen,ob meine Rechnung bis hierhin stimmt
Sie stimmt nicht.
Das [mm] \bruch{2}{\pi}*\bruch{4}{3}*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{3} [/mm] ist keine Stammfunktion von [mm] 4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{2} [/mm] wie Du sofort durch Differentiation feststellen kannst
Bestimme zunächst eine Stammfunktion von [mm] $cos^2(t)$
[/mm]
Für eine Stammfunktion von [mm] 4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{2} [/mm] substituiere t= [mm] \bruch{\pi}{2}x+\pi
[/mm]
FRED
> ?
>
> Vielen Dank
>
> lg
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> > Gegeben ist die FUnktion
> > [mm]f(x)=2+cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)-1.[/mm]
>
>
> Ich denke Deine Funktion lautet:
>
> [mm]f(x)=2*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)-1.[/mm]
>
>
> > Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers,der durch
> > Rotation des Graphen von f über I=-1;1] um die x-Achse
> > entsteht.
> > Hallo zusammen,
> >
> > Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr ganz weiter.Also
> > die Rotationsformel ist ja hier
> > [mm]V=\pi*\integral_{-1}^{1}{(f(x))^{2} dx}.[/mm]
> >
> > Ich hab jetzt zuerst [mm](f(x))^{2}[/mm] berechnet und habe
> >
> [mm](f(x))^{2}=4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{2}-4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)+1[/mm]
> >
> > und dann integriert: [mm]\integral_{-1}^{1}{(f(x))^{2} dx}=[\bruch{2}{\pi}*\bruch{4}{3}*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{3}-4*sin(\bruch{\pi}{2}x+\pi)*\bruch{2}{\pi}+x][/mm]
>
> >
> > Ich bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.Kann
> > mir bitte jemand sagen,ob meine Rechnung bis hierhin stimmt
>
>
>
> Sie stimmt nicht.
>
> Das
> [mm]\bruch{2}{\pi}*\bruch{4}{3}*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{3}[/mm]
> ist keine Stammfunktion von [mm]4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{2}[/mm]
> wie Du sofort durch Differentiation feststellen kannst
>
> Bestimme zunächst eine Stammfunktion von [mm]cos^2(t)[/mm]
>
> Für eine Stammfunktion von [mm]4*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi)^{2}[/mm]
> substituiere t= [mm]\bruch{\pi}{2}x+\pi[/mm]
Ok,ich habe versucht eine Stammfunktion von [mm] cos^2(t) [/mm] zu bestimmen,also [mm] \integral_{}^{}{cos(x)*cos(x) dx}, [/mm] unzwar mit partieller Integration aber das bringt mich nicht weiter,denn ich komme am Ende wieder auf [mm] \integral_{}^{}{cos(x)*cos(x) dx}=\integral_{}^{}{cos(x)*cos(x) dx}.
[/mm]
Davon hab ich ja nix,wie mach ich das denn?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Mi 03.03.2010 | | Autor: | ONeill |
Hi!
> mit partieller Integration aber das bringt mich nicht
> weiter,denn ich komme am Ende wieder auf
> [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*cos(x) dx}=\integral_{}^{}{cos(x)*cos(x) dx}.[/mm]
>
Wenn du [mm] cos^2 [/mm] integrieren willst, dann macht man das schon mit partieller Integration. Und Du hast recht, dass nachher auch wieder Deine urspruengliche Funktion rauskommt, allerdings noch mit thermen davor. Dann kannst Du aber umstellen und kommst damit auf Deine Stammfunktion. Probiers mal aus.
Gruss Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hi!
> > mit partieller Integration aber das bringt mich nicht
> > weiter,denn ich komme am Ende wieder auf
> > [mm]\integral_{}^{}{cos(x)*cos(x) dx}=\integral_{}^{}{cos(x)*cos(x) dx}.[/mm]
>
> >
> Wenn du [mm]cos^2[/mm] integrieren willst, dann macht man das schon
> mit partieller Integration. Und Du hast recht, dass nachher
> auch wieder Deine urspruengliche Funktion rauskommt,
> allerdings noch mit thermen davor. Dann kannst Du aber
> umstellen und kommst damit auf Deine Stammfunktion.
> Probiers mal aus.
>
Hey,
ich habs ausprobiert und komme auf [mm] \integral_{}^{}{cos(t)*cos(t) dt}=0.5*[(sin(t)*cos(t))+t].
[/mm]
Stimmt das jetzt so?
Und ich hab ja substituiert [mm] t=\bruch{\pi}{2}x+\pi, [/mm] d.h. mein INtegral lautet:
[mm] 4*\integral_{}^{}{cos^2(t)*\bruch{2}{\pi} dt}=\bruch{8}{\pi}*\integral_{}^{}{cos^2(t) dt}=\bruch{4}{\pi}*[(sin(t)*cos(t))+t].
[/mm]
Damm kann ich doch wieder rücksubstituieren und habe als Stammfunktion [mm] F(X)=\bruch{4}{\pi}*[(sin(\bruch{\pi}{2}x+\pi)*cos(\bruch{\pi}{2}x+\pi))+\bruch{\pi}{2}x+\pi].
[/mm]
Ist das jetzt so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Mi 03.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo mandy
richtig, aber bei bestimmten Integralen ist es oft besser nicht zurück zu substituieren sondern die Grenzen passen zur Subst. zu verändern. hier also x=-1 [mm] t=\pi/2; [/mm] x=1 [mm] t=3\pi/2
[/mm]
aber wie du es machst ists auch richtig.
Da es zu den abi vorbereitungen zählt. statt Substitution hättest du auch verwenden können:
[mm] cos^2(x)=0.5*(cos(2x)-1)
[/mm]
Fürs abi ist es nützlich, zu wissen, dass es solche Formeln gibt. vielleicht dürft ihr ja ne Formelsammlung benutzen?
Gruss leduart
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