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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:37 Mo 10.05.2004 | | Autor: | puq |
Hallo,
weiß jemand, warum für [mm] s \in \IC [/mm] mit [mm] Re(s) \ > \ 1 [/mm]
[mm]\integral_{1}^{\infty} 1/x^s \, dx \ = \ 1/(s-1)[/mm]
gilt?
Würde mich sehr über eine Antwort freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Di 11.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo pug
ich glaube es zu wissen!
Die Antwort scheint durch direktes Ausrechnen zu entstehen:
[mm]\int_{1}^{\infty}x^{-s} \, dx = \lim_{A \to \infty} \int_{1}^{A}x^{-s} \, dx[/mm]
[mm]\int{x^{-s}} \, dx = \bruch{1}{1-s}*x^{1-s} = \bruch{1}{1-s}*\bruch {x}{x^s}[/mm]
Für [mm]x=1[/mm] gilt:
[mm]\bruch {x}{x^s} = \bruch {1}{1^s} = 1[/mm]
Und für [mm]x = A[/mm] gilt:
[mm]\bruch {x}{x^s} = \bruch {A}{A^s} = \bruch {1}{A^{s-1}}
= \bruch {1}{A^{Re(s)-1 + i*Im(s)}} = \bruch {1}{A^{Re(s)-1}*A^{i*Im(s)}}[/mm]
Hier strebt im rechten Bruch [mm]A^{Re(s)-1}[/mm] gegen [mm] \infty [/mm] , also der ganze Ausdruck gegen [mm]0[/mm]. (Für [mm]A \to \infty[/mm])
Somit ergibt sich für das bestimmte Integral: [mm]\bruch{1}{1-s}*(0 - 1) = \bruch{1}{s-1}[/mm]
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Di 11.05.2004 | | Autor: | puq |
Hallo Paulus,
vielen Dank. Irgendwie dachte ich, man könnte nicht "einfach so" integrieren mit imaginärem s, aber man kann ja durch Ableiten sehen, dass es so geht.
Also danke schön.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:16 Di 11.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo pug
> Hallo Paulus,
>
> vielen Dank. Irgendwie dachte ich, man könnte nicht
> "einfach so" integrieren mit imaginärem s, aber man kann ja
> durch Ableiten sehen, dass es so geht.
>
> Also danke schön.
>
Bitte!
Ja, du hast schon recht: im Komplexen sind die Integralwerte längs einer Kurve manchmal vom Weg abhängig! Deshalb ist schon Vorsicht geboten! Man kann dann nicht mehr einfach Stammfunktion(Endpunkt) minus Stammfunktion(Anfangspunkt) rechnen. Das lernt ihr ja sicher schon noch!
Man kann aber schon formal eine Stammfunktion definieren, indem man einfach fordert, dass die 1. Ableitung wieder zur Funktion führen muss.
(Ich weiss, ist etwas salopp formuliert, aber trotzdem...)
Liebe Grüsse
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