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Hallo,
ich habe eine Frage zum Integral
[mm]\integral \bruch{1}{1 + x^{4} [/mm][mm] \,dx.
[/mm]
Die Lösung habe ich; nur weiß ich nicht, wie man darauf kommt. Substitution geht nicht, PBZ auch nicht (oder ich hab' was übersehen).
Wenn jemand einen Tipp hätte, würde ich mich sehr darüber freuen.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Di 10.04.2007 | | Autor: | Dennis_M. |
Hi,
schreib doch mal bitte die Lösung, vielleicht kann ich dir dann besser helfen.
Gruß
Dennis
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Hallo,
folgende wäre die Lösung:
[mm] \bruch{1}{4*\wurzel{2}}*(-2*arctan(1-\wurzel{2}*x)+2*arctan(1+\wurzel{2}*x)-log(-1+\wurzel{2}*x-x^2)+log(1+\wurzel{2}*x-x^2))
[/mm]
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Di 10.04.2007 | | Autor: | riwe |
substituiere [mm] \frac{1}{x}=z\to \frac{dx}{x²}=-dz [/mm] und hebe aus der wurzel [mm] x^{4} [/mm] heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Di 10.04.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo riwe,
danke für die Antwort. Das würde mich dann zu
[mm]\integral \bruch{1}{1 + x^{4}}[/mm][mm] \, [/mm] dx = [mm]-\integral \bruch{z^{2}}{z^{4} + 1}[/mm][mm] \, [/mm] dz
führen. Das sieht schon einfacher aus; aber mit Substitution komme ich trotzdem nicht weiter.
Die Lösung ist:
[mm]\bruch{1}{4*\wurzel{2}}[/mm] * ( ln [mm]\bruch{x^{2}+\wurzel{2}*x+1}{x^{2}-\wurzel{2}*x+1}[/mm]) - 2 * arctan([mm]\bruch{\wurzel{2}*x}{x^{2}-1}[/mm]))
sorry für die Klammern; hab' ich nicht hingekriegt.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Do 12.04.2007 | | Autor: | riwe |
ich muß mir doch eine neue brille kaufen.
da habe ich mich wieder total verschaut.
aber den richtigen tip mit PBZ hast du ja schon.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 Di 10.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zum Integral
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> [mm]\integral \bruch{1}{1 + x^{4}[/mm][mm] \,dx.[/mm]
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> Die Lösung habe ich; nur weiß ich nicht, wie man darauf
> kommt. Substitution geht nicht, PBZ auch nicht (oder ich
> hab' was übersehen).
>
> Wenn jemand einen Tipp hätte, würde ich mich sehr darüber
> freuen.
>
> LG, Martinius
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>
>
Hi,
versuch mal den Nenner so darzustellen : [mm] x^4+1 [/mm] = [mm] x^4+2x^2+1-2x^2 [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] = [mm] (x^2 -\wurzel{2}x+1)(x^2+\wurzel{2}x+1)
[/mm]
Dann kannst du die partielle Bruchzerlegung durchführen:
[mm] \bruch{Ax+B}{(x^2 -\wurzel{2}x+1)}+ \bruch{Cx+D}{(x^2 +\wurzel{2}x+1)}
[/mm]
schafft du es weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Di 10.04.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Mary15,
vielen Dank für die PBZ. Ich versuch's mal weiter.
LG, Martinius
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