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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Di 30.01.2007 | | Autor: | tommy987 |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x^2+1+x*\wurzel{x^2+1}} dx} [/mm] |
Kann mir irgendwer einen Tip geben, wie ich da am besten ansätze?
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Hallo Tommy!
Ich habe es nun nicht bis zum Ende durchgerechnet ... aber es sieht ganz erfolgversprechend aus.
Erweitere diesen Bruch mit [mm] $\left[ \ \left(x^2+1\right) \ \red{-} \ x*\wurzel{x^2+1} \ \right]$ [/mm] zu einer 3. binomischen Formel im Nenner.
Anschließend zusammenfassen und den Bruch in 2 Teilbrüche zerlegen.
Der 2. Teilbruch wird dann mittels Substitution gelöst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Di 30.01.2007 | | Autor: | tommy987 |
Und in was soll ich sie aufspalten, weil ich könnte da nix substituieren!?!
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Hallo Tommy!
Wie lautet denn Dein Zwischenergebnis nach dem Erweitern und Zusammenfassen?
Die Aufteilung lautet dann: [mm] $\bruch{x^2+1-x*\wurzel{x^2+1}}{\text{neuer Nenner}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1}{\text{neuer Nenner}}-\bruch{x*\wurzel{x^2+1}}{\text{neuer Nenner}} [/mm] \ = \ ...$
Anschließend beim 2. Teilbruch erst kürzen und dann $z \ := \ [mm] x^2+1$ [/mm] substituieren.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Di 30.01.2007 | | Autor: | tommy987 |
Bei mir bleibt 1 [mm] -\bruch{x*\wurzel{x^2+1}}{x^2+1+x\wurzel{x^2+1}} [/mm] stehn, und da jetzt substituieren?
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Hallo Tommy!
Du hast nach dem Erweitern (siehe Tipp oben) im Nenner nicht richtig zusammengefasst; sprich: die 3. binomische Formel falsch bzw. gar nicht angewandt.
Als Nenner sollte nach dem Zusammenfassen herauskommen:
[mm] $\left(x^2+1\right)^2-x^2*\left(\wurzel{x^2+1}\right)^2 [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] x^2+1$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Di 30.01.2007 | | Autor: | tommy987 |
hab mich verschrieben ghabt, hab das raus bekommen, was du hast. Kann man da noch was kürzen
[mm] \bruch{x*\wurzel{x^2+1}}{(x^2+1)^2-x^2*\wurzel{x^2+1}}
[/mm]
ich hab leider ein bisschen ein Problem mit Wurzelausdrücken, ich kann damit nicht ganz umgehn.
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Hallo Tommy!
Du musst im Nenner schon richtig ausmultiplizieren bzw. die 3. binomische Formel anwenden. Dann solltest Du erhalten:
[mm] $\bruch{1}{x^2+1+x*\wurzel{x^2+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1-x*\wurzel{x^2+1}}{(x^2+1)^2-x^2*\left(\wurzel{x^2+1}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1-x*\wurzel{x^2+1}}{x^4+2x^2+1-x^2*\left(x^2+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1-x*\wurzel{x^2+1}}{x^2+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^2+1}{x^2+1}-\bruch{x*\wurzel{x^2+1}}{x^2+1} [/mm] \ = \ ...$
Nun im 2. Bruch durch [mm] $\wurzel{x^2+1}$ [/mm] kürzen und anschließend $z \ := \ [mm] x^2+1$ [/mm] substituieren ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Di 30.01.2007 | | Autor: | tommy987 |
Dank dir vielmals, jetzt is mir das Licht aufgangen!!!! Danke lg
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