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| Aufgabe | Man berechne das Integral
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{\alpha}dx} [/mm]
mit Hilfe der Riemannschen Summe,
wobei 0 < a < b und [mm] \alpha \not= [/mm] -1 |
Hallo
wir haben zu der Aufgabe folgende Tipps bekommen:
Als n-te Zerlegung sollen wir [mm] t_{k}= a*\wurzel[n]{(\bruch{b}{a})^{k+1}}
[/mm]
mit k= 0,...,n
und man darf verwenden, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel[n]{x}-1}{\wurzel[n]{x^{\alpha +1}}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\alpha + 1}
[/mm]
habe folgender maßen angefangen:
[mm] \integral_{a}^{b}{x^{\alpha}dx}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} (f(t_{k+1})-(t_{k+1}-t_{k}))
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} ((a*\wurzel[n]{(\bruch{b}{a})^{k+1}})^{\alpha}*(a*\wurzel[n]{(\bruch{b}{a})^{k+1}}-a*\wurzel[n]{(\bruch{b}{a})^{k}}))
[/mm]
nach ein paar umformungs- und zusammenfassungsschritten komme ich auf: = [mm] a^{\alpha + 1} [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} ((\wurzel[n]{(\bruch{b}{a})^{k+1}})^{\alpha + 1}*(1-\bruch{1}{\wurzel[n]{(\bruch{b}{a}}}).
[/mm]
Ich denke und hoffe mal das mir bis hierhin kien fehler unterlaufen ist.
Wie mache ich jetzt weiter?
ich habe schon vieles probiert, aber ich schaffe es nicht irgendetwas aufzulösen oder so weit zu kommen, dass ich den Tipp verwenden kann.
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
Nathenatiker
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Hallo,
mir ist aufgefallen, dass der obige Teil doch einige Fehler enthält.
wir haben zu der Aufgabe zusätzlich nich einen Tipp bekommen:
In der Riemannschen Summe kann man den Term [mm] f(t_{k+1}) [/mm] durch [mm] f(t_{k}) [/mm] ersetzten, dass heißt also
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} (f(t_{k+1})-(t_{k+1}-t_{k})) [/mm] $ = $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} (f(t_{k})-(t_{k+1}-t_{k})) [/mm] $
Warum, dass weiss ich leider auch noch nicht...
Danach habe ich die Aufgabe noch mal neu gerechnet und hänge jetzt hier:
$ [mm] a^{\alpha + 1} [/mm] $ * $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} ((\wurzel[n]{(\bruch{b}{a})^{k}})^{\alpha + 1}\cdot{}(\wurzel[n]{\bruch{b}{a}}-1). [/mm] $
Wie kann ich jetzt hier weitermachen?
ich sehe einfach keinen sinnvollen umformungsschritt mehr.
MFG
Nathenatiker
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Mo 06.11.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Robert,
> In der Riemannschen Summe kann man den Term [mm]f(t_{k+1})[/mm]
> durch [mm]f(t_{k})[/mm] ersetzten, dass heißt also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} (f(t_{k+1})-(t_{k+1}-t_{k}))[/mm]
Frage: müsste es nicht stattdessen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} (f(t_{k+1}) \red{*}(t_{k+1}-t_{k}))
[/mm]
heissen? Also: Funktionswert MAL Breite des Intervalls? So war das doch mit der Riemannschen Summe, glaub ich.
Dass man [mm] t_{k} [/mm] anstelle von [mm] t_{k+1} [/mm] nehmen darf liegt (würde ich vermuten) daran, dass du einmal die Unter- und einmal die Obersumme nimmst. Die beiden müssen ja im Grenzwert aber eh gleich sein (sonst wäre die Funktion ja nicht Riemann-int.bar).
Ich hab grad gesehen, dass du aber anscheinend mit MAL anstelle von MINUS weitergerechnet hast, also liegts daran wohl nicht.
Aber müsst es hier nicht
[mm] >a^{\alpha+1}*\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} ((\wurzel[n]{(\bruch{b}{a})^{k\red{+1}}})^{\alpha + 1}\cdot{}(\wurzel[n]{\bruch{b}{a}}-1). [/mm]
heissen? Bei [mm] t_k [/mm] steht doch ein [mm] (\bruch{a}{b})^{k+1} [/mm] unter der Wurzel.Rechne es am besten noch mal genau nach.Mehr seh ich im Moment aber auch nicht, tut mir leid
L G walde
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Hallo,
du hast natürlich recht, es muss heißen
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} (f(t_{k+1}) \red{\cdot{}}(t_{k+1}-t_{k})) [/mm] $.
Ich hab noch mal nachgerechnet, ich bin mir mittlerweile ziemlich sicher, dass ich bis hierhin $ [mm] a^{\alpha + 1} [/mm] $ * $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=0}^{n-1} ((\wurzel[n]{(\bruch{b}{a})^{k}})^{\alpha + 1}\cdot{}(\wurzel[n]{\bruch{b}{a}}-1). [/mm] $
richtig grechnet habe, aber selbst wenn ich probiere mit k+1 weiterzurechnen, komme ich auch nicht weiter.
vielleicht komm ich ja im laufe des tages noch drauf....
MFG
Nathenatiker
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Die frage hat sich erledigt, hab die Lösung gefunden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 07.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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