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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Sa 03.02.2018 | | Autor: | Son |
| Aufgabe | Wie berechnet man die folgende Funktion?
[mm] \integral_{[0,\infty)} e^{-x|y|}* \bruch{y}{1+(y^2)} d\lambda(y) [/mm] |
Wie kann man das integral berechnen? Ich hatte schon gezeigt dass es Lebesgue integrierbar ist...
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Hiho,
ist das Integral wirklich so gegeben?
Das Betragszeichen im Integral macht bspw. gar keinen Sinn, da [mm] $y\in [0,\infty)$
[/mm]
Welche Informationen liegen über x vor? Ist bspw. $x [mm] \ge [/mm] 0$?
Fragen über Fragen…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 04.02.2018 | | Autor: | Son |
[mm] f:\IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR. [/mm] f(x,y)=$ [mm] \integral_{[0,\infty)} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}* 1_{[-1,\infty)} d\lambda(y) [/mm] $.
Entschuldigung , hatte die indikatorfunktion vergessen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 04.02.2018 | | Autor: | Son |
Jetzt ist sie richtig:
$ [mm] \integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{} 1_{[-1,\infty)} d\lambda(y) [/mm] $
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Hiho,
> Jetzt ist sie richtig:
> [mm]\integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{} 1_{[-1,\infty)} d\lambda(y)[/mm]
also erst mal: In der Indikatorfunktion fehlt das Argument. Man weiß also nicht, ob $x$ oder $y$ da drin steht. Dann ändert sich mit jedem Post dein Integrationsbereich…
wenn ich jetzt raten sollte:
[mm]\integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{} 1_{[-1,\infty)}(x)\, d\lambda(y)[/mm]
stimmt das?
Kann aber gar nicht, weil das Integral dann gar nicht für alle x wohldefiniert ist… weiterhin Fragen über Fragen…
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 So 04.02.2018 | | Autor: | Son |
Sie hatten recht. Die Funktion wurde in der Aufgabe falsch abgetippt:
Es müsste so sein:
$ [mm] \integral_{\IR} \integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{}1_{[0,\infty)}(x) 1_{[-1,\infty)}(y)\, d\lambda(y) d\lambda(x) [/mm] $
So ist sie jetzt richtig.
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Hiho,
es gilt:
$ [mm] \integral_{\IR} \integral_{\IR} e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\cdot{}1_{[0,\infty)}(x) 1_{[-1,\infty)}(y)\, d\lambda(y) d\lambda(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^\infty \integral_{-1}^\infty e^{-x|y|}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\, d\lambda(y) d\lambda(x) [/mm] = [mm] \integral_{0}^\infty \integral_{-1}^0 e^{xy}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\, d\lambda(y) d\lambda(x) [/mm] + [mm] \integral_{0}^\infty \integral_{0}^\infty e^{-xy}\cdot{} \bruch{y}{1+(y^2)}\, d\lambda(y) d\lambda(x)$ [/mm]
Beide Summanden lassen sich nun leicht mit Hilfe des Satzes von Fubini lösen.
Begründe noch, warum du diesen anwenden darfst.
Gruß,
Gono
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 05.02.2018 | | Autor: | Son |
Vielen Dank für den Tipp.
Also ich hab am Ende [mm] \bruch{3}{4} \pi [/mm] herausbekommen. Kann es stimmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Mo 05.02.2018 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für den Tipp.
> Also ich hab am Ende [mm]\bruch{3}{4} \pi[/mm] herausbekommen. Kann
> es stimmen?
Es kann stimmen, oder auch nicht. Wie wäre es,wenn Du Deine Rechnungen präsentierst.
Das hilft der Hilfe ungemein!
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