Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Mo 23.02.2015 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{x}^{1}{\bruch{1}{1+t^2}dt} \overset{!}{=} \integral_{1}^{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{1+t^2}dt} [/mm] |
Hallo,
die Integrationsgrenzen weisen ja deutlich darauf hin, dass substituiert werden soll/muss.
Jetzt komme ich damit aber nicht ganz klar... es funktioniert nicht so wie üblich habe ich das gefühl.
Gedankengang bislang:
[mm] \integral_{x}^{1}{\bruch{1}{1+t^2}dt} [/mm]
1. Subst.fkt.: z(t):= [mm] 1+t^2
[/mm]
2. Ableitung: z'(t) = 2t
Somit: [mm] \bruch{dz}{dt}=2t [/mm] --> dt = [mm] \bruch{1}{2t}dz
[/mm]
Und hier ist schon das Problem glaube ich. Es bleibt also beim Integral mit sub. ein t stehen.
Wie gehe ich hier ran? Und wieso funktioniert es nicht so einfach wie bei den anderen aufgaben wie bei der berechnung von [mm] \integral_{a}^{0}{sin(2x) dx}?
[/mm]
Irgendetwas ist hier anders :(
|
|
| |
|
Hiho,
was willst du überhaupt zeigen?
Dass die Gleichung gilt?
Das wird dir nicht gelingen, weil die Gleichung schlichtweg nicht für alle x stimmt.
Für bspw x=0 ist die rechte Seite nicht mal definiert, die linke hingegen schon.
Was willst du also bezwecken?
edit: Für [mm] $x\not= [/mm] 0$ geht es viel einfacher:
[mm] $F_1(x) [/mm] = [mm] \integral_{x}^{1}{\bruch{1}{1+t^2}dt} [/mm] = - [mm] \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^2}dt}$
[/mm]
[mm] $F_2(x) [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{1+t^2}dt}$
[/mm]
Zeige: $F'_1(x) = F'_2(x)$
Zusammen mit [mm] $F_1(1) [/mm] = [mm] F_2(1) [/mm] = 0$ folgt das Gewünschte.
Gruß,
Gono
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 23.02.2015 | | Autor: | SoWhat |
Hallo, es gilt: 0<x<1
Im Eifer des Gefächts vergessen zu erwähnen, entschuldigung :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 23.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
habe dir dazu ja was als edit geschrieben.
Wenn du es unbedingt mit Substitution machen möchtest, substituiere $u = [mm] \bruch{1}{t}$
[/mm]
Gruß,
Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mo 23.02.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hiho,
>
> habe dir dazu ja was als edit geschrieben.
> Wenn du es unbedingt mit Substitution machen möchtest,
> substituiere [mm]u = \bruch{1}{t}[/mm]
Huhu,
sorry. Gono hat schon alles gesagt :D Ich war 2 Minuten zu spaet ^^
>
> Gruß,
> Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:23 Mo 23.02.2015 | | Autor: | SoWhat |
Hallo, ich weiß nicht ob man bei einer Mitteilung was angezeigt bekommt, deswegen noch als Frage.
0<x<1 soll gelten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Mo 23.02.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hiho,
>
> was willst du überhaupt zeigen?
> Dass die Gleichung gilt?
> Das wird dir nicht gelingen, weil die Gleichung
> schlichtweg nicht für alle x stimmt.
>
> Für bspw x=0 ist die rechte Seite nicht mal definiert, die
> linke hingegen schon.
>
> Was willst du also bezwecken?
>
> edit: Für [mm]x\not= 0[/mm] geht es viel einfacher:
>
> [mm]F_1(x) = \integral_{x}^{1}{\bruch{1}{1+t^2}dt} = - \integral_{1}^{x}{\bruch{1}{1+t^2}dt}[/mm]
>
Wenn man auf der Suche nach der Substitution ist, schreit diese Umformung doch gerade zu nach der Substitution
$ t [mm] \to [/mm] 1/t$
> [mm]F_2(x) = \integral_{1}^{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{1+t^2}dt}[/mm]
>
> Zeige: [mm]F'_1(x) = F'_2(x)[/mm]
>
> Zusammen mit [mm]F_1(1) = F_2(1) = 0[/mm] folgt das Gewünschte.
>
> Gruß,
> Gono
>
> Gruß,
> Gono
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:39 Mo 23.02.2015 | | Autor: | SoWhat |
woran habt ihr die richtige integration jetzt so schnell erkannt? an den Grenzen? Aus Erfahrung?
Oder habt ihr geheime Tricks? ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Mo 23.02.2015 | | Autor: | Chris84 |
> woran habt ihr die richtige integration jetzt so schnell
> erkannt? an den Grenzen? Aus Erfahrung?
Richtig. An den Grenzen. Ist dir klar, dass und vor allem wie sich die Grenzen aendern, wenn man substituiert? (In der Schule schleppt man die Grenzen eher weniger mit, sondern resubstituiert in einer Stammfunktion die Substituion; in der Uni lernt man dann, wie man die Grenzen behandelt...)
>
> Oder habt ihr geheime Tricks? ;)
>
>
Was heisst geheim? ^^ Integration ist ein Stueck weit auch immer Erfahrungssache:
"Diffenzieren ist Handwerk, Integrieren ist Kunst" ^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:54 Di 24.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Die Substitution $ u = [mm] \bruch{1}{t} [/mm] $ ist natürlich die eleganteste Methode.
Man könnte aber auch auf die Idee kommen die Integrale einfach auszurechnen !
Dann ist
$ [mm] \integral_{x}^{1}{\bruch{1}{1+t^2}dt} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{1+t^2}dt} [/mm] $ gleichbedeutend mit
[mm] \arctan(x)+\arctan(1/x)= \bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Das legt die Idee nahe, zu zeigen, dass die Funktion [mm] f(x):=arctan(x)+\arctan(1/x) [/mm] konstant ist.
FRED
|
|
|
|
