Integ. Dreieck im Sterngebiet < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Fr 08.08.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe einen Satz, dessen Beweis ich nicht nachvollziehen kann, da es sich auf ein Lemma bezieht, womit ich schon irgendwie Probleme hatte!
Satu :
Sei U ein Sterngebiet in [mm] \mathbb C [/mm] mit Zentrum[mm] z_0 [/mm]. Sei [mm] f: U \to \mathbb C [/mm] stetig. Es gelte:
Ist [mm] \triangle [/mm] ein Dreieck, das ganz in U liegt, so ist
[mm] \integral_{ \partial \triangle } f(z) dz = 0 [/mm].
Definiert man dann
[mm] F(c) := \integral_{z_0}^c f(z) dz \ \forall z \in U [/mm] so ist F Stammfunktion von f.
Lemma :
Sei U offen in [mm] \mathbb C [/mm] und [mm] z_0 \in U [/mm]. Sei [mm] f: U \to \mathbb C [/mm] stetig.
Sei [mm] \mathcal F [/mm] eine Menge von Wegen in U mit folgenden Eigenschaften:
a) Ist [mm] \gamma \in \mathcal F [/mm], so hat [mm] \gamma [/mm] den
Anfangspunkt [mm] z_0 [/mm]
b) Ist [mm] c \in U [/mm], so gibt es ein [mm] \gamma \in \mathcal F [/mm] mit Endpunkt c
c) Haben [mm] \gamma, \beta \in \mathcal F [/mm] denselben Endpunkt,
so ist [mm] \integral_{\gamma} f(z) dz = \integral_{\beta} f(z) dz [/mm].
d) Ist [mm] c \in U [/mm] und B eine Kreisscheibe in U mit Mittelpunkt c, so gilt für jedes [mm] \omega \in B [/mm], dass [mm] \gamma \* \gamma_{ \left[c,w \right] } \in \mathcal F [/mm].
Dann kann man eine Funktion F definieren durch
[mm] F: U \to \mathbb C [/mm] und
[mm] F(c) := \integral_{\gamma} f(z)dz [/mm] , wobei [mm]\gamma \in \mathcal F [/mm] mit Endpunkt c, und dieses F ist eine Stammfunktion von f.
Beweis vom Satz :
Wende das Lemma an. Dabei ist [mm] \mathcal F [/mm] die Menge aller Streckenzüge in U, mit Anfangspunkt [mm] z_0 [/mm].
Die Eigenschaften a), b), und d) sind trivialerweise erfüllt.
( Ich sehe nicht, dass die Eigenschaft d) erfüllt ist... Warum gilt diese? )
Die Eigenschaft c) ist zu zeigen:
Zu zeigen:
Ist [mm] \omega [/mm] ein geschlossener Streckenzug, mit Anfangspunkt [mm] z_0 [/mm], so ist [mm] [mm] \integral_{\omega} [/mm] f(z) dz = 0
So und nun haben wir einfach graphisch das U un ganz viele Streckenzüge unterteilt und diese Unterteilung so weiter fortgeführt, und schleißlich am Ende folgendes stehen gehabt:
[mm] \integral_{\omega} = \integral_{z_0}^{z_1} + \integral_{z_1}^{z_2} + ... + \integral_{z_4}^{z_0} [/mm]
[mm] = \integral_{z_0}^{z_1} + \integral_{z_1}^{z_2} + \integral_{z_2}^{z_0} + \integral_{z_0}^{z_2} + \integral_{z_2}^{z_3} + ... [/mm]
[mm] = \integral_{ \triangle_1} + \integral_{ \traingle_2 } + \integral_{ \triangle_3} + .... = 0 [/mm]
So, ich vertshe nicht, warum wir die Eigenschaft c) bewiesen haben und diese dass das Integral Null ist.
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Mo 11.08.2008 | | Autor: | PeterB |
Hallo noch mal,
ich sage erst mal etwas Allgemeines:
Das Problem mit den Stammfunktionen in [mm] $\mathbb [/mm] C$ ist, dass das Integral von [mm] $z_0$ [/mm] nach $c$ von dem gewählten Weg abhängen könnte. Das kann zum Beispiel passieren, wenn du als Gebiet eine Kreisscheibe ohne den Mittelpunkt wählst.
Die Idee ist jetzt, dass wir nicht alle Wege betrachten, sondern nur Streckenzüge: die Aneinanderreihung von Strecken. Der Grund ist, dass wir zwar nur sehr einfache Wege haben, allerdings können wir auf den Endpunkt "aus jeder Richtung" zugehen. Das brauchen wir, damit wir nachher in alle Richtungen ableiten können, und dass ist es was Bedingung (d) aus dem Lemma sagt.
Jetzt etwas konkreter:
Zum Beweis von (d): Das ist wirklich klar, also erkläre ich nochmal die Begriffe: [mm] $\gamma_[c,w]$ [/mm] ist der gerade Weg von $c$ nach $w$ und [mm] $\gamma$ [/mm] ist eine Kette von Strecken, die in [mm] $z_0$ [/mm] anfängt und in $c$ endet. Das Objekt [mm] $\gamma*\gamma_[c,w]$ [/mm] ist einfach der Streckenzug [mm] $\gamma$ [/mm] mit am Ende angehängter Strecke $[c,w]$, also auch ein Streckenzug, der in [mm] $z_0$ [/mm] beginnt. Daher per Definition in unserer Menge.
Zum Beweis von (c):
Wir wollen zeigen: wenn [mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] Streckenzüge von [mm] $z_0$ [/mm] nach $c$ sind, dann stimmen die Integrale über die beiden Wege überein:
$ [mm] \integral_{\gamma_1} [/mm] f(z) dz = [mm] \integral_{\gamma_2} [/mm] f(z) dz $
Wenn wir jetzt mit [mm] $\gamma_2^{-1}$ [/mm] den Weg in die entgegengesetzte Richtung bezeichnen, dann folgt:
$ [mm] \integral_{\gamma_1*\gamma_2^{-1}} [/mm] f(z) dz = [mm] \integral_{\gamma_1} [/mm] f(z) dz + [mm] \integral_{\gamma_2^{-1}} [/mm] f(z) dz = [mm] \integral_{\gamma_1} [/mm] f(z) dz - [mm] \integral_{\gamma_2} [/mm] f(z) dz $
Aber [mm] $\gamma_1*\gamma_2^{-1}$ [/mm] beginnt und endet bei [mm] $z_0$, [/mm] ist also ein geschlossener Streckenzug, und wir müssen nur zeigen, das solche Integrale 0 sind.
Genau das wird jetzt durch das "Unterteilen" gezeigt: Streng genommen ist das eine Induktion über die Länge des Streckenzuges:
1) Länge 1: gibt es nicht!
2) Länge 2: Sehr einfach!
3) Länge 3: Geschlossene Streckenzüge der Länge drei sind die Ränder von Dreiecken! Also verschwinden die Integrale per Voraussetzung.
Jetzt also Länge n>3: Sei also [mm] $[z_0,z_1,...,z_n,z_0]$ [/mm] ein geschlossener Streckenzug der Länge n (mit den Kanten [mm] z_0, z_1, [/mm] usw.) Dann ist das Integral über diesen Streckenzug gleich der Summe der Integrale über [mm] $[z_0,z_2,z_3,...,z_n,z_0]$ [/mm] und über [mm] $[z_0,z_1,z_2,z_0]$. [/mm] Das erste ist ein Streckenzug der Länge $n-1$ das zweite ist ein Dreieck. Der erste Streckenzug ist wieder in unserem Sterngebiet, da die einzige neue Strecke [mm] $[z_0,z_2]$ [/mm] wieder in dem Sterngebiet liegt. (Per Definition ist [mm] $z_0$ [/mm] ein Zentrum!). Dann können wir aber die Induktionsvoraussetzung anwenden, und erhalten für den Wert des Integrals über [mm] $[z_0,z_1,...,z_n,z_0]$ [/mm] den Wert $0+0=0$.
qed.
Zugegeben, jetzt wo ich das aufschreibe erkenne ich schon, dass man an sehr vielen Stellen aufpassen muss.
Gruß
Peter
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